圆的切线证明题.doc

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细说如何证明圆的切线
证切线---------------90°〔垂直〕
有90°------------------证全等
有⊥-----------
如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，∠CDB=∠OBD=30°．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求弦BD的长；
(3)求图中阴影局部的面积．
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5.〔2021中考〕：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，ÐDOC=2ÐACD=90°。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
(2) 如果ÐACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长。
6、〔2021•〕如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
〔1〕求证：直线BF是⊙O的切线；
例6. ⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角〔或等角〕的余角相等证题。
证明：连结OD，则OD⊥CE。
∴∠EDA＋∠ODA＝90°
∵OA⊥OB
∴∠A＋∠P＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA
∵∠EDA＝∠CDP，
∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD
点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。
7〔2021年省9分〕如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
〔1〕求证：∠BCA=∠BAD；
〔2〕求DE的长；
〔3〕求证:BE是⊙O的切线。
【答案】解：〔1〕证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA〔圆周角定理〕，
∴∠BCA=∠BAD。
〔2〕∵∠BDE=∠CAB〔圆周角定理〕，∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，∴。
∵BD=BA =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13。
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∴，解得：。
〔3〕证明：连接OB，OD，
在△ABO和△DBO中，∵，
∴△ABO≌△DBO〔SSS〕。
∴∠DBO=∠ABO。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。
8．〔7分〕〔2021•〕如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
〔1〕求证：BC为⊙O的切线；
〔2〕求∠B的度数．
考点：
切线的判定与性质；菱形的性质．
分析：
〔1〕连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS〞可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=9