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极限的求解方法
2
求函数极限的方法和技巧
1、运用极限的定义
2、利用极限的四则运算性质
若
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则：

（IV） （c为常数）
上
极限的求解方法
2
求函数极限的方法和技巧
1、运用极限的定义
2、利用极限的四则运算性质
若
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则：

（IV） （c为常数）
上述性质对于
3、约去零因式（此法适用于）
例: 求
解:原式=
3
=
4
5
则 也存在，且有=
例:求极限
解:
=
注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。

但我们经常使用的是它们的变形：
例：求下列函数极限
6


9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
7
例：求下列函数的极限
（2）

10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：
m、n、k、l 为正整数。
例：求下列函数极限
① 、n ②
8
解: ①令 t= 则当 时 ,于是
原式=
②由于=
令： 则
==
=
11、 利用函数极限的存在性定理
定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:

则极限 存在, 且有

例: 求 (a>1,n>0)
解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使
9
k ≤x≤k+1
于是当 n>0 时有:

及
又 当x时,k 有

及
=0
12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。
定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：
10
==A
例：设= 求及
由

13、罗比塔法则（适用于未定式极限）
定理：若
11
此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。
注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：
要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。
应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。
4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。
例： 求下列函数的极限
① ②
12
解：①令f(x)= , g(x)= l
,
由于
但
从而运用罗比塔法则两次后得到
② 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：
14、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：
1、
13
2、
3、
4、
5、
6、
上述展开式中的符号都有:
例:求
解:利用泰勒公式，当 有
于是
=
14
=
=
15、利用拉格朗日中值定理
定理:若函数f满足如下条件：
(I) f 在闭区间上连续
(II)f 在(a ,b)内可导
则在(a ,b)内至少存在一点,使得
此式变形可为:

例: 求
解:令 对它应用中值定理得
即:
连续
15
从而有:
16、求代数函数的极限方法
(1)有理式的情况，即若:
(I)当时，有

(II)当 时有:
①若 则
②若 而 则
③若,,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即:
可得结论如下：