数学建模-经济增长问题.ppt

经济增长问题
发展经济, 提高生产力的主要手段有:增加投资、增加劳动力、(一是因为经济发展初期或不太长时期内,技术相对稳定;二是由于技术革新量化比较困难).
(一)试建立产值与资金、劳动力之间的关系;
(二)研究资金与劳动力的最佳分配,使投资效益最大;
(三)讨论如何调节资金与劳动力的增长率,使劳动生产率得到有效增长.
相关知识点
知识点一:偏导数
知识点二:多元函数的极值
知识点三:伯努利方程
解题方法
利用简单的经济学知识,首先建立产值、效益的函数关系式和劳动生产率所满足的微分方程,然后求函数的最值或求解微分方程.
解题过程
第一步:
(一) 用、、分别表示某一地区在时刻的产值、资金、劳动力,它们之间的关系一般地记作

(1)
解题过程
第二步:
引入记号
, (2)
是单位劳动力的产值, : 随的增加而增长,
= , , (3)
(2),(3)可得到
, (4)
这就是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数.
解题过程
第三步:
对(4)式两端取对数后再关于求导得
(4)式两端关于求偏导数可得
, (5)
(5), 是劳动力在产值中的份额. 的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系.
解题过程
第四步:
(二) 固定某一时刻,假设资金来自贷款,利率为,每个劳动力需付工资,于是效益
(6)
下面求资金与劳动力的分配比例,

(7)

由(7)式可得
(8)
(8)可看出,当, 变大, 变小时,分配比例变大,这是符合常识的.
解题过程
第五步:
(三) 有效的经济增长指标是:?
首先作出如下合理简化假设:
投资增长率与产值成正比,比例系数;
劳动力的相对增长率为常数;
这两个条件可分别表示为
, (9)

(10)
解题过程
第六步:
(10)的解为(11)
将(2),(4)式代入(9)式得到
(12)
注意到,并结合(10)式有

(13)
比较(12),(13)式得到
(14)
这是著名Bernoulli方程,其解为

(15)
解题过程
第七步:
下面根据(15)式研究保持增长的条件.
1) 增长,即,由及(10),(14)式可算得


(16)
将(15)式代入(16)式得, 等价于

(17)