极限运算法则两个重要极限.docx

复习旧课：、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限


定理1：(唯一性)如果极则会出现错误。
..X21
例4求lim
x1X1
解limX~~1-lim(x1)(X1)-lim(x1)2
x1x1x1x1x1
x29
例5lim2
x3x27x12
2一，一、，〜一
初I-X9(x3)(x3)x3p
解lim9—lim—lim6
x3x27x12x3(x3)(x4)x3x4
设P(x)为多项式
当Xx0时，
Q(Xo)0
因为f(x)为多项式，所以极限值等于在
X0处的函数值
因为f(x)为两个多项
式商的极限，且在x=1
处分母的极限不为零，
所以极限值等于函数值。
在x=-1处，分母为零，
不能直接计算极限。
在x=-1处，分母为零，
不能直接计算极限。
“9”型，先设法
0
约去非零因子。
3x3x
例6求lim—3
xx31
3x3x32J2
解lim—3=limx—3

1~3
x
a0,当mnh0,
1bo
mm1
a0xa1xam-、1/
结论：lim-j0,当mn,
xb°xnb,xn1bn.
，当mn.
12、
例7求lim(-2—)
x1X1x21
12x121
解lim(2)=lim2=
x1x1x21x1x212
小结：

1)设P(x)为多项式，则limP(x)P(x0)。
xxo
2)P(x)、Q(x)均为多项式，且Q(x0)0,则
..P(x)P(x0)
lim
xx0Q(x)Q(x0)
3)若f(x)0,g(x)A0,则limg(x)f(x)
4)若limg(x■为“0”型时，用因式分解找出“零因子”。
f(x)0
曳,当mn,b00,mm1b0
5)结论：limnn10,当mn,
xb°xb〔xbn4
，当mn.
”型，用无穷小
量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次
嘉。
先通分，再计算。
6)若(x)0,f(x)有界，则lim(x)f(x)0
7)若lim[f(x)g(x)]为“"型时，一般是通分或有理化后再处
理。


准则1(夹逼定理)设函数f(x),g(x),h(x)在x0的某一邻域U(x0,)内满足
g(x)f(x)h(x)
且有极限limg(x)limh(x)A,则有limf(x)Axxoxxoxx0
准则2如果数列xn单调有界，则limxn一定存在。x

一sinx)
.极限lim1
x0x
,、
例8计算lim
x0x
.tanxsinx1sinx1
解lim=lim-=limlim=1
x0xx0xcosxx0xx0cosx
小1cosx
例9计算lim；—
x0x2
2
Oc、
d2sin—dsin—
.1cosx212
解lim2—lim2^2—lim2
x0x2x0x2x02x
2
2
.一x