函数的单调性.ppt

函数的单调性86821
学习目的：
，并会灵活应用。
，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力，增强数形结合的思维意识。
复习引入：函数的单调性86821
学习目的：
，并会灵活应用。
，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力，增强数形结合的思维意识。
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义
来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，
　(1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.
　(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
　(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1< x2.
　(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.
　(3)判断差的符号，从而得函数的单调性.
例1 讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R，
f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）
=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）
= (x1－x2)(x1+x2－4）
则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)，
那么 y=f(x)单调递减。
当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)，
那么 y=f(x)单调递增。
综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）
y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
函数y=x2－4x＋3的图象：
2
y
x
0
0
y
x
1
2
-1
-2
单增区间：(-∞，-1)和
（1，+∞）.
例2 讨论函数y=x+ 的单调性。
x
1
单减区间：(-1，0）和
（0，1）.
发现问题：用单调性定义讨论
函数单调性虽然可行，但十分
麻烦，尤其是在不知道函数图
=x3+2x2-
为简捷的方法呢？下面我们通
过函数的y=x2－4x＋3图象来考
察一下：
2
y
x
0
.
.
.
.
.
.
.
观察函数y=x2－4x＋3的图象：
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
则f(x)为常数函数.
结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明：
归纳总结:
:
若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
,用导数去研究函数的
单调性是中心,能灵活应用导数解
题是目的,另外应注意数形结合在
解题中应用.
巩固提高：
：方程x- sinx=0只有一个实根x=0.
>0时，证明不等式 <ln(1+x)<x
成立.
2
1
x
1+x
布置练习 作业：
P134 练习1 ；2.
---1；2.
作业：求函数y=x-2sinx(0≤x≤2π）
单调区间.
感谢您的关注