数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.doc

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题
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高考资源网（ ），间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．
例7　已知棱长为3的正四面体，、是棱、上的点，且，．求四面体的内切球半径和外接球半径．
分析：可用何种法求内切球半径，把分成4个小体积(如图)．
解：设四面体内切球半径为，球心，外接球半径，球心，连结、、、，则．
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四面体各面的面积为
，，．
各边边长分别为，，
∴．
∵，
，
∴，
∴．
如图，
是直角三角形，其个心是斜边的中点．
设中心为，连结，过作平面的垂线，必在此垂线上，
连结、．
∵，，
∴，．
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在直角梯形中，，，
，，
又∵，∴，
解得：．
综上，四面体的内切球半径为，外接球半径为．
说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．
本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视．
例8 球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
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分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式求出球半径．
解：∵，，，
∴，是以为斜边的直角三角形．
∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径，
又球心到截面的距离为，
∴，得．
∴球的表面积为．
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．由条件可抓住是正四面体，、、、为球上四点，则球心在正四面体中心，设
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，则截面与球心的距离，过点、、的截面圆半径，所以得．
例9　正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．
解：如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．
是正三棱锥的高，即．
是边中点，在上，
的边长为，∴．
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∴
可以得到．
由等体积法，
∴
得：，
∴．
∴．
说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为的球