南京工业大学矩阵论第二章讲义设计-ch2.docx

南京工业大学矩阵论第二章讲义设计-ch2.docx第二章线性变换
第一章中，我们讨论了线性空间的基本结构，本章继续研究线性空间中向量之间的关系， 这种关系是通过线性空间到线性空间的映射来实现的。线性空间V到自身的映射，称之为V 的一个变换，而线性变换是线性空间的最简单的同时也是最重要的一先证明A是V上的线性变换。设任意” =+ y2a2 + ■■■ + ynan eV ,任意keP, 则：
A (« + /?) =A [(-x, + V])% + (.x2 +%)%+••• ++ y„ )«„]
=(叫 + m )”i + (勺 + % )0 + • • • + + yn)A
=Aa +AP ;
A(奴z) =A(kxia1 + kx2a2 H Fkxnan)
=奴i"i + 奴2”2 + • • • + 奴/“
=k Aa .
所以A是V上的线性变换，根据A的定义，显然满足A(%) = /3「,
再证A是唯一的。若B是V上另一线性变换，且
B(tz;) = (3t, i =
则对任意 a = AjtZj + x2a2 -\ 1- xnan e V ,有：
B (<z) =B ( x1al + x2a2 h 1- xnan)
=B % +「2 B —2 X„ B an
=X1A + X2^2 + ■ • • + XnPn
=A (a )
故 A=Bo
根据定义2和引理得到：
定理1设％,%，•••，%是数域P±n维线性空间V的一个基，则V上所有的线性变换 与P上所有n阶方阵之间存在一一对应关系，此关系由下式确定：
A{al,a2,---,an )=(a},a2,---,an )A (1)
证明 只需证明任意一个方阵A e Pnxn存在V上一个线性变换A与之对应。设
)=(al,a2,---,all )A，则根据方阵 A 可唯一确定 V 上 n 个向量, 由引理，存在唯一线性变换A,使
A (%,%，•••，%)=(岛,”2,•••，”“)=( %,%，•••，%)A 。
定理2设…,％是数域P±n维线性空间V的一个基，V中的任意二个线性 变换A、B在基tZptZj,T矩阵分别为方阵A、B, k&P,则
A+B 在基a},a2,---,au 下矩阵为 A+B；
在基％‘a?，…，下矩阵为上A；
AB 在基al,a2,---,an T矩阵为 AB；
A可逆的充要条件是A可逆，且A」】对应的矩阵为A—】。
证明根据定义2,有：
A (tZptZj,) = (a},a2,---,an ) A
B (tZptZj,) = (a},a2,---,an ) B
(A+B) (tZptZj,)
=A (tZptZj, ) +B (%, %，•.•，% )
=(tZ],tz2 ,■ • •,tzn ) A+ ( tZpttj,) B
=(tZ],tz2,■ • •,tzn ) (A+B)
.'.A+B在基下的矩阵为A+Bo
(3)与(1)类似，留作练习。
若A可逆，设逆变换A」】对应的矩阵为B,由
AA-1 =A-1 A = E
得AB=BA=E,所以A可逆，A」】对应B = A 1»
反之，若A可逆，其A」】对应一个线性变换为B,由AA—i =a—】A=E得，AA—i =
A-1 A=E,从而 A 可逆，B=A 1 o
由定理1和定理2,数域P上的n维线性空间V上的所有线性变换构成的线性空间Z(V) 与数域P上的n阶方阵构成的线性空间Pnxn是同构的，其同构映射为：
b : L(V) — P*"
A1A
其中A是A在a1,a2,---,an下的矩阵。
例5 n维线性空间V上的零变换，在任一个基下的矩阵是零矩阵；恒等变换在任一组 基下的矩阵都是单位矩阵E。
例6设D是R[x]n中的求导变换(见例3),求D在基1,》,•••,下的矩阵。
解根据求导公式：
D (1) = 0 , 1 + 0 • % H— + 0 , X* ,
D (x) =1-1 + 0'% + -- - + 0'x"'，
D ( ) = (〃- 1)泌-2 = + + ... +(〃_ 1)L + Q•广，
••• D在1,》,•••,下的矩阵为：
‘0 1 0 0 0 、
0 0 2 0 0
D= 。
0000 n-1
、0 0 0 0 0 ,
r2 r"-1
在例6中，如中取另一个基=1,”，=x,”3 = 土,= —，则求导
2! (〃一1)!
变换D将这个基变为
D(岗)=0”1+0好+・..+ 0国
D0) = l”i+O 坊+••• + ()国
D ) =。”1 +。坊 +…+ 1凡-1 + 0凡
于是D在基”1, ”2下的矩阵是:
‘0 1 0 0 0、
0