高一数学知识点.docx

高一数学知识点.docx高一数学知识点
概念含有一个未 或小于 ) 右边，这两个不等式就是同
向不等式，例如 a2＋2＞a＋1，3a2＋5＞2a 是同向不等式；如果一个不等
式的左边大于 ( 或小于 ) 右边，而另一个不等式的左边小于 ( 或大于 ) 右边，
这两个不等式就是异向不等式，例如 a2＋3＞2a，a2＜ a＋5 是异向不等
式．
定理 2 如果 a＞b，且 b＞c，那么 a＞c． 证明：∵a＞b，b＞c， ∴
a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a －b) ＋(b －
c) ＞0，
即 a－c＞0，
∴a＞c．
根据定理
1，定理
2 还可以表示
为：
如果 c＜b，且 b＜a，那么 c＜a．
定理 3
如果 a＞b，那么 a＋
c＞ b＋ c．
证明：∵ (a ＋c) － (b ＋c)
＝a－ b＞0，
∴ a＋ c＞b＋
c．
定理 3 说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不
等式同向．
想一想：如果 a＜b，是否有 a＋c＜b＋c？
利用定理 3 可
以得出：
如果 a＋b＞c，那么 a＞c－b．
也就是说，不等式中任何一
项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．
推论 如果 a＞b，且 c＞
d，那么 a＋c＞b＋d．
证明：∵ a＞b，
____-8-10 15:33
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∴a＋c＞b＋c． ① ∵c＞d， ∴b＋c＞b＋d． ② 由①、②得 a
c＞b＋d． 很明显，这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加．这就是说，两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不
等式与原不等式同向．
定理 4
如果 a＞b，且 c＞0，那么 ac＞bc；如
果 a＞b，且 c＜0，那么 ac＜bc．
证明：ac－bc=(a －b)c ． ∵a＞b，
∴
a－b＞0．
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得
当 c＞0 时， (a －
b)c ＞0，即 ac ＞bc；
当 c＜0 时，(a －b)c ＜0，即
ac ＜bc．
由
定理 4，又可以得到：
推论 1
如果 a＞b＞0，且 c＞d＞0，那么
ac
＞bd．
同学们可以仿照定理 3
的推论证明定理 4 的推论 1．
很明显，
这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相
乘．这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，
所得不等式与原不等式同向．由此，我们还可以得到：
推论 2
如果 a
＞b＞0，那么 an＞bn(n ∈N，且 n＞1) ．
我们用反证法来证明．
这些
都同已知条件 a＞b＞0 矛盾．
利用以上不等式的性质及其推论，就可以
证明一些不等式．
例 3 已知 a＞b，c＜d，求证 a－c＞b－d．
证明：
由 a＞b

知

a－b＞0，由

c＜d

知

d－c＞0．

∵(a －c) －(b －d)

=(a

－
b) ＋(d －c) ＞0， ∴a－c＞b－d． 证明：∵ a＞b＞0，

即

又

c
＜0， 参考资料：，且分别满足下列条件的直线方程
（1）与直线 2_ + y + 5 = 0 平行 ；
（2）与直线 2_ + y + 5 = 0 垂直。
18．解： 解得 --------
2分
所以交点（ -1 ，2）
1） -----3 分
直线方程为 --------6分
2） --