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公共绿地喷浇的节水模型1

ri ，喷射角度为α i ，
n
它所形成的区域为 ，则绿地受水的总面积 实际上的圆覆盖)为 ，从而得到如下
Si ( S = ∑ Si
i=1
优化模型问题：
⎧⎫n
目标函数：
SM= in⎨⎬∑ α iiS
⎩⎭i =1
n
约束条件： Si ⊇ S ； ri ≤ R
Ui=1
为了解决和简化问题，更能表达“覆盖”的含义，我们以
S
K = (1)
S
S
代替文献[1，2]中的 来作为有效覆盖率来刻画和评价模型的优劣，就有： K ≥ 1。 K 越
S
接近 1，模型就越好，因此用水也就越节约。
在以下的具体模型分析和求解中，我们将针对不同几何形状绿地区域的覆盖进行讨论，从而
得到关于它们的有效覆盖率的计算。
3. 模型的应用与求解分析
绿地为正方形区域时的最优覆盖率
如图 1 所示，我们假设绿地区域是边长为 2a 的正方形。先以正方形中心为圆心，R 为
半径作圆，我们称之为大圆。再分别以四个顶点为圆心，r 为半径，作等半径的四分之一圆，
我们称之为小圆[2]。使整个正方形被覆盖，我们的目标是让绿地都能喷浇到水，并且要使
被重复喷浇到水的面积最小。换句话说：我们的目标是使受水面积与绿地面积的比值达到最
小。因此，我们要选择适当的半径 R 与 r ，使大圆与小圆面积之和达到最小。这样我们就
得到下面的优化模型：
目标函数： S = Min π {R 2 + r 2 }
约