内切球、外接球问题.doc

处理球的“内切”“外接”问题
一、正多面体（即各个面都是全等的正多边形)的内切、：
(即正方体）：球心在体对角线的中点。
设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；(处理球的“内切”“外接”问题
一、正多面体（即各个面都是全等的正多边形)的内切、：
(即正方体）：球心在体对角线的中点。
设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；(3）和棱相切的球半径。
(1）截面图1为正方形的内切圆,得；
（2)和正方体各棱相切的球:球和正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。（精品文档请下载）
图1
图2
图3
正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上,如图3，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆,易得。（精品文档请下载）
2。正四面体（四个面全等的正三棱锥）
设高为h,内切球半径为r,，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为r=，R= ，R=3r。（精品文档请下载）
？
分析：（方法一）
运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解:如图1所示，设点是内切球的球心,正四面体棱长为．由图形的对称性知,点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．（精品文档请下载）
在中,,即，得，得
（方法二)正四面体四个面全等,是一种侧棱和底面边长都相等的特殊正三棱锥。
可以用补形法补成正方体,取正方体的六条面对角线为正四面体棱长，
再由正方体外接球球心在体对角线上来求出半径。

二、构造直三角形，巧解正棱柱和球的组合问题
1、正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.(直棱柱球心在上下底面外心连线的中点处)（精品文档请下载）
例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，那么这个球的体积为 .（精品文档请下载）
解 设正六棱柱的底面边长为，高为,那么有
∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的间隔 .∴外接球的半径.。
小结 此题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式。
2、长方体的外接球球心也在体对角线中点，直径等于体对角线长。无内切球,因最多和长方体5个面相切。
例2 各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，那么这个球的外表积是
A. B。 C。 D。
解 设正四棱柱的底面边长为,外接球的半径为，那么有，解得.
∴。∴。
,又知球和此正三棱柱的5个面都相切，求球和球的体积之比和外表积之比。（精品文档请下载）
分析：先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。
图6
解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的