高中数学必修4平面向量知识点总结.docx

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高中数学必修
4
平面向量
知识点归纳
一 .向量的根本概念与根本运算
1 向量的概念：
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的方向一样； 当
0 时，λ a 的方向与 a 的方向相反； 当0
时，a 0 ，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
两个向量共线定理：
向量 b 与非零向量a共线有且只有一个实数，使得 b=a
平面向量的根本定理：
如果 e1
, e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a ，有且只有一对实数
1, 2使：
a1 e12 e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
特别注意 :
1〕向量的加法与减法是互逆运算
2〕相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
3〕向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线〔即重合〕，而向量平行那么包括共线〔重合〕的情
况
4〕向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的根本定理，计算向量的模、两点的距离、向
量的夹角，判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进展综合考察，是知识的交汇点
例 1给出以下命题：
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①假设| a |＝|b|，那么 a =b；
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②假设 A，B， C， D 是不共线的四点，那么
AB
DC 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③假设 a =b，b= c ，那么 a = c ，
④ a =b的充要条件是| a |=|b|且 a //
b ；
⑤假设 a //b，b//
c ，那么 a // c ，
其中正确的序号是
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定一样．
② 正确．∵
AB
DC ，∴|AB| |DC |且AB//DC ，
又 A，B，C， D 是不共线的四点，∴
四边形 ABCD 为平行四边形；反之，假设四边形
ABCD 为平行四
边形，那么， AB // DC
且|AB| |DC |，
因此， AB
DC ．
③ 正确．∵
a =b，∴ a ，b的长度相等且方向一样；
又 b ＝c，∴ b ，c的长度相等且方向一样，
∴ a ， c 的长度相等且方向一样，故
a ＝ c ．
④不正确．当 a //
b且方向相反时，即使 |
a |=|b|，也不能得到 a =b，故| a |=|b|且 a //b不是
a =b的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤不正确．考虑 b = 0 这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是②③．
点评：本例主要复习向量的根本概念．向量的根本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识构造，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进展类比和联想．
例 2 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
① AB
BC
CD ，② DB
AC BD
③ OA
OC
OB
CO
解：①原式 = ( ABBC )
C D
AC
C D
AD
②原式 =
( D B
BD )
AC
0
AC
AC
③原式 =
(O B
O A )
(
O C
C O )
AB
(O C
C O )
AB
0 AB
例 3 设非零向量a
、 b
不共线， c =k a +b
， d =a+k b
(k R)，假设c∥d，试求 k
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解：∵ c ∥d
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∴由向量共线的充要条件得：c=λd(λR)
即k a +b=λ( a +kb)
∴ (k λ ) a + (1 λ k) b
= 0
又∵ a 、b不共线
k
0
1
∴由平面向量的根本定理
1 k
k
0