极限计算方法总结简洁版.doc

极限计算方法总结简洁版
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极限计算方法总结简洁版
极限计算方法总结（简洁版)
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。
说明:（极限计算方法总结简洁版
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极限计算方法总结（简洁版)
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。
说明:（1)一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如：;；;等等
　 （2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,Ｂ,则下面极限都存在,且有 （1）
（2)
(３）
　　 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,不能用。
3．两个重要极限
(1） 　 　
（2) ;
说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,
作者简介：靳一东，男,（1964—）,副教授。
例如：,，;等等。
　 4．等价无穷小
　 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。
定理３ 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价,即有:
~～~～~～　。
说明:当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价
关系成立，例如：当时, ~ ； ～ 。
　 定理4　如果函数都是时的无穷小，且~，
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～，则当存在时,也存在且等于，即=。
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量ｘ趋近于某一定值（或无穷大)时,函数和满足:（1）和的极限都是0或都是无穷大；
　 　　 (2)和都可导,且的导数不为０；
　 （3)存在(或是无穷大)；
则极限也一定存在，且等于,即=　。
说明:定理５称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足,只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2）一般都满足，而条件(3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性
定理６ 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点,则有　。

定理7（准则1）　单调有界数列必有极限。
定理８(准则2）　已知为三个数列,且满足:
(1）
　 　 (2） ，
　　 则极限一定存在，且极限值也是a　，即。
二、求极限方法举例
用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限
例1　
解：原式=　。
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注：本题也可以用洛比达法则。
例2
解:原式=　。
例３
解:原式 。
利用函数的连续性(定理6)求极限
例4
解