对面积曲面积分的计算法.ppt

第五节对面积曲面积分的计算法几何形体上的积分??Gf P dg???, ;Df x y d?????, ,f x y z dv??????, ;Lf x y ds???, ,f x y z ds??重积分对弧长的曲线积分1??, ,f x y z?在上连续,当G为一光滑曲面,被积函数?有( , , )f x y z dS???曲面面积元素积分曲面??, ,f x y z?称为函数在曲面上的对面积的曲面积分(第一类曲面积分)2( , , )f x y z dS???计算对面积的曲面积分——化为二重积分??, ,x y z?在上变化?3曲面积分元素为2 21 ( , ) ( , )cosx ydds z x y z x y d???? ???第一型曲面积分化为二重积分的公式为2 2( , , ) ( , , ( , )) 1 ( , ) ( , )x yDf x y z dS f x y z x y z x y z x y d??? ???? ??用切平面小块来代替,而dAdSdAd??cosddA???( , , )f x y z dS???4如果曲面的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出,也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz面上的二重积分。?????????????2 22 2: ,, , , , , 1: ,, , , , , 1yzxzy zDx zDx x y zf x y z ds f x y z y z x x dy y x zf x y z ds f x y x z z y y d????? ?? ??? ?? ?? ?? ??? ?? ??? ??? ?5?例1 计算,其中是球面被平面截出的顶部。1dSz???2 2 2 2x y z a? ???(0 )z h h a? ??OxyzaaahxyD?6解的方程为,它在xoy面上的投影区域D为,的曲面面积元素为?2 2 2z a x y? ??2 2 2 2x y a h? ???2 22 2 21x yadS z z d da x y? ?? ???? ?7所以2 22 22 2 2 2 2 22 2 2 2 222 202 20 01112 [ ln( )] 2 ln2DD Da ha hdSzada x y a x ya ad rdrda x y a rr aa d dr a a r aa r h??? ?? ? ????? ?? ? ??? ?? ? ?? ?????????? ??? ?(极坐标)=8?例2 计算,其中是三个坐标面和平面围成的四面体的整个边界曲面。xyzdS?????1x y z? ??xyz111OxyD9解边界曲面由四块组成:?1 2 3 4?????????他们的表达式分别是0, 0, 0, 1x y z x y z? ?????于是1 2 3 4Sxyzd? ????? ???? ????????由于在,,上均为零,所以1?2?3?( , , )f x y z xyz?1 2 30? ??? ???? ????10