数值分析数值积分与数值微分习题答案.docx

，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若
令，则
令，则
令，则
从而解得
令，则
故成立。
令，则
故此时，
故
具有3次代数精度。
（2）若
令，则
令，则
令，则
从而解得
令，则
故成立。
令，则
故此时，
因此，
具有3次代数精度。
（3）若
令，则
令，则
令，则
从而解得
或
令，则
故不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
（4）若
令，则
令，则
令，则
故有
令，则
令，则
故此时，
因此，
具有3次代数精度。
：
解：
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
复化梯形公式为
复化辛普森公式为
3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。
证明：
柯特斯公式为
令，则
令，则
令，则
令，则
令，则
令，则
令，则
因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。用辛普森公式求积分并估计误差。
解：
辛普森公式为
此时，
从而有
误差为
5。推导下列三种矩形求积公式：
证明：
两边同时在上积分，得
即
两边同时在上积分，得
即
两连边同时在上积分，得
即
6。若用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分？
解：
采用复化梯形公式时，余项为
又
故
若，则
当对区间进行等分时，
故有
因此，将区间213等分时可以满足误差要求
采用复化辛普森公式时，余项为
又
若，则
当对区间进行等分时
故有
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
解：采用梯形公式计算积分时，余项为
又且
又
即计算值比准确值大。
其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。
8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过.
解：
0
1
2
3
因此
0
1
因此
0
1
2
3
4
5
因此
9。用的高斯-勒让德公式计算积分
解：
令，则
用的高斯—勒让德公式计算积分
用的高斯—勒让德公式计算积分
10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。
解：
从而有。
0
1
2
即人造卫星轨道的周长为48708km
11。证明等式
试依据的值，用外推算法求的近似值。
解
若
又
此函数的泰勒展式为
当时,
当时,
当时,
由外推法可得
n
3
6
9
故
12。用下列方法计算积分，并比较结果。
(1)龙贝格方法；
(2)三点及五点高斯公式；
(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。
解
(1)采用龙贝格方法可得
k
0