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连续性间断点
由NordriDesign提供

一、函数连续性的定义
引例
(1)
(2)
(3)
(4)
（4）
连续
即 不存在
（2）
连续性间断点
由NordriDesign提供

一、函数连续性的定义
引例
(1)
(2)
(3)
(4)
（4）
连续
即 不存在
（2）
存在 ，但 没有定义
间断
（3）
存在 , 有定义,但
（1）
则称函数
定义1 设函数 在 的某邻域内有定义且,
可见 , 函数
在点
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
连续必须具备下列条件:
存在 ;
有定义 ,
存在 ;
证 因为
且
这说明：
该函数在
处连续 .
故有
在
处连续 .

对自变量的增量 有函数的增量
函数 在 连续有下列等价命题:
函数 在 连续等价于
定义1’ 当自变量的增量趋于零时，函数的增量也趋于零.
左连续
右连续
定理1 函数在某点连续等价于在该点左连续且右连续.
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例2. 已知函数
在
处连续，求b.
解
因为函数在
处连续，
故
所以，
在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。
函数在区间内 连续
在区间内的每一点都连续且在b处左连续
在 上连续 .
例如 ( 有理整函数 )
又如, 有理分式函数 在其定义域内连续.
只要 都有
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例4. 分析函数
在点x = 1处的连续性.
所以x = 0 是第一类跳跃间断点 。
解: ∵函数在x = 1处无定义，∴ x = 1为间断点。
所以x = 1 是第一类可去间断点 。
又
例5. 分析函数
在点x = 0处的连续性.
例6. 讨论函数
间断点的类型.
解: 可能间断点为x = 1， x = 2 。
所以x = 1 是第一类可去间断点 。
所以x = 2 是第二类无穷间断点 。
定理2 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,
商(分母不为 0) 运算,
结果仍是一个在该点连续的函数 .

由于 所以
在其定义域内连续.
例如,由于 连续
在其定义域内连续.
连续.
则
三、连续函数的运算法则
2 复合函数的连续性
处连续，且 而函数f (u)在点u0处连续，则有
定理3 连续函数的复合函数是连续的.
即若 在x0
例如,
因此复合函数
在
连续 .
初等函数的连续性
例如,
的连续区间为
(端点为单侧连续)
的连续区间为
的定义域为
因此它无连续点
而
基本初等函数在定义区间内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续
一切初等函数在定义区间内连续
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连续函数的重要特征：
对于在点 处连续的函数 ，极限 就等于该函数在点 处的函数值
解:
于是由初等函数在其定义区间上的连续性，有


解：
例10. 求
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解:

解:原式
四、闭区间上连续函数的性质
定理4.（最值定理）在闭区间上连续的函数在该区间
上一定有最大值和最小值.
即: 设
则
使
(证明略)
结论不一定成立 .
注意: 若函数在开区间上连续,
或在闭区间内有间断
点 ,
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由定理 1 可知有
证: 设
上有界 .
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定理6. ( 零点定理 )