曲面及其方程.ppt

曲面及其方程27270
一、曲面方程的概念
求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的
化简得
即
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
引例:
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
满足此方
曲面及其方程27270
一、曲面方程的概念
求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的
化简得
即
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
引例:
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
满足此方程的坐标点都在此平面上.
解:设轨迹上的动点为
轨迹方程.
定义1.
如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
(2)满足此方程的坐标点都在此平面上,
求曲面方程.
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
故所求方程为
例1. 求动点到定点
方程.
特别,当M0在原点时,球面方程为
解: 设轨迹上动点为
即
依题意
距离为 R 的轨迹
表示上(下)球面 .
例2. 研究方程
解: 配方得
此方程表示:
说明:
如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
其图形可能是
的曲面.
表示怎样
半径为
的球面.
球心为
一个球面
, 或点
, 或虚轨迹.
二、柱面
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
的坐标也满足方程
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
故在空间
过此点作
柱面.
对任意 z ,
平行 z 轴的直线 l ,
表示圆柱面
在圆C上任取一点
其上所有点的坐标都满足此方程,
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.

表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
z 轴的椭圆柱面.

z 轴的平面.

表示母线平行于
(且 z 轴在平面上)
表示母线平行于
C 叫做准线, l 叫做母线.
例:分析方程
表示怎样的曲面 .
答:
在空间直角坐标系中表示:
y 轴的柱面.
以 xOz 上的抛物线 为准线 ,
而母线平行于
称为抛物柱面.
一般柱面方程的特征
柱面,
柱面,
平行于 x 轴;
平行于 y 轴;
平行于 z 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
母线
柱面,
准线 xoy 面上的曲线 l1.
母线
准线 yoz 面上的曲线 l2.
母线
定义2. 一条平面曲线
三、旋转曲面
绕其平面上一条定直线旋转
一周
所形成的曲面叫做旋转曲面.
该定直线称为旋转
轴 .
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
故旋转曲面方程为
当绕 z 轴旋转时,
若点
给定 yoz 面上曲