定积分的简单应用——求体积(共5页).doc

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(二)
复习：
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(二)
复习：
求曲边梯形面积的方法是什么？
定积分的几何意义是什么？
微积分基本定理是什么？
引入：
我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
简单几何体的体积计算
问题：设由连续曲线和直线，及轴围成的平面图形（如图甲）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，如何求？
分析：
在区间内插入个分点，使，把曲线（）分割成个垂直于轴的“小长条”，如图甲所示。设第个“小长条”的宽是，。这个“小长条”绕轴旋转一周就得到一个厚度是的小圆片，如图乙所示。当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱。因此，第个小圆台的体积近似为
该几何体的体积等于所有小圆柱的体积和：
这个问题就是积分问题，则有：
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归纳：
设旋转体是由连续曲线和直线，及轴围成的曲边梯形绕轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为
利用定积分求旋转体的体积
找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数
分清端点
确定几何体的构造
利用定积分进行体积计算
一个以轴为中心轴的旋转体的体积
若求绕轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为，其公式为
类型一：求简单几何体的体积
例1：给定一个边长为的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积
思路：
由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图。则该旋转体即为圆柱的体积为：
规律方法：
求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为。确定积分上、下限，则体积
练习1：如图所示，给定直角边为的等腰直角三角形，绕轴旋转一周，求形成的几何体的体积。
解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。
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类型二：求组合型几何体的体积
例2：如图，求由抛物线与直线及所围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积。
思路：
解答本题可先由解析式求出交点坐标。
再把组合体分开来求体积。
解：解方程组 得：
与直线的交点坐标为
所求几何体的体积为：
规律方法：