排列组合定义及数学思想应用举例
石家庄市第十八中学 王永欣
加法原理与乘法原理作为“排列与组合”单元中的基本原理，不仅起着理论上的奠基的作用，而且作为一种解题方法，它还贯穿于整节内容的始终。因此，它理应成为我们重点把握的教学内容。除排列组合定义及数学思想应用举例
石家庄市第十八中学 王永欣
加法原理与乘法原理作为“排列与组合”单元中的基本原理，不仅起着理论上的奠基的作用，而且作为一种解题方法，它还贯穿于整节内容的始终。因此，它理应成为我们重点把握的教学内容。除了认真完成课本上的例子和练习外，还应弄清除有关“可重复”与“不允许重复”以及“步中有类”“类中有步”这些交叉型的问题。
例如 ：例1：(1)用0～9这十个数字组数，问一共可以组成多少个不同的含有七个数字的彩票号码?(提示:彩票号码中首位数字可以是0，且其中数字可以重复) (2)一个小学生用十块分别写有0～9这十个数之一的硬纸片拼组数，问一共可以组成多少个不同的七位数?
分析：显然(1)属于排列与组合结合的问题。
解法1：按组号顺序分步，先从这10个数字中任选7个组合起来有种，再把每一种全排列有个，按分步计数原理共有个。
解法2：直接由排列定义得：个
(2),再选其它六位有个, 按分步计数原理共有个.
例2：连续射击n次，把每次命中与否按顺序记录下来，问可能出现多少种不同的结局?
解法1：按射击的次数分n个步骤，每射击一次，无非就是“中”与“不中”两种可 能，因而由乘法原理知共有2n 种不同的结局。
解法2：按命中的可能结果分为n+1类，即命中0次，1次，2次，…，n次，显然分别有Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn 种可能结果，因而根据加法原理知共有Cn0+Cn1+Cn2+ …+Cnn 种不同的结局。（解法2只有在学习了组合知识以后才会用)
例3：今有壹圆币一张，贰圆币一张，伍圆币一张，拾圆币两张，伍拾圆币两张，用这些人民币可以组成多少种不同数额的款子?
解法1：分五个步骤：
(1)取“壹圆”币，有两种方法，即“取一张”或“不取”
(2)取“两圆”币，同样有两种方法
(3)取“伍圆”币，同样有两种方法
(4)取“拾圆”币，有三种方法，即“取一张”、 “取两张”或“不取”
(5)取“伍拾圆”币，同样有三种方法
故由乘法原理知共有 2×2×2×3ד壹圆”“贰圆”“伍圆”“ 拾圆”“伍拾圆”这些币值的特殊性，可知每一种“取法”对应着一款“数额”，且不同的“取法”对应着不同的“数额”，再注意到若都是“不取”，则“数额”为0,这不符合题意，故所求答案应为 2×2×2×3×3－1=71(种)。
解法2：分四类：(1)只有1张“拾圆”和1张“伍拾圆”的参与组额，有C
51+C52+C53+C54+C55种不同数额的款子
(2)两张“拾圆”的必在内且“伍拾圆”的只取一张参与组额，有C22（C40+C41+C42+C43+C44）种不同数额的款子
(3)两张“伍拾圆”的必在内且“拾圆”的只取一张参与组额，同样有C22（C40+C41+C42+C43+C44）种不同数额的款子
(4)两张“拾圆”的和两张“伍拾圆”的都必在内，则有C22C22（C30+C31+C32+C33)种不同数额的款子
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