二重积分计算方法.doc

二重积分计算方法
直角坐标系中的计算方法
采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此有积分公式，如下:
bx,()2X—型 f(x,二重积分计算方法
直角坐标系中的计算方法
采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此有积分公式，如下:
bx,()2X—型 f(x,y)dxdy,dxf(x,y)dy,,,,ax(),1D
d,(y)2f(x,y)dxdy,dyf(x,y)dxY—型 ,,,,c(y),1D
22()xyd，,例题:求二重积分 其中(σ)是由所围成的区域。 ,,,
解答:因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者先对y后对x积分:(1)取x为0,1之间任一点，这时y变化0,x2;(2)对x求和
关于交换积分次序
先对x后对y积分:取y为0,1之间任一点，这时x变化x=到x=1 y
112222()=()xyddyxydx，，, ,,,,y0,
222xx,关于交换积分次序的例题dxfxydy(,)= ,,12,x
22xx,解答:画出积分区域 x 取1,2之间任一点时 y 从y=2-x(直线) 到 y=(以(1,0)为圆心的圆)
1
交换积分区域:y取0-1之间任一点 x 从直线x=2-y到圆
练习:改换下列二次积分的积分次序:
1y (1), dyf(x,y)dx,,00
22y (2), dyf(x,y)dx2,,0y
211,ydyf(x,y)dx (3), 2,,0,1,y
222x,x (4), dxf(x,y)dy,,12,x
lnexdxf(x,y)dy (5), ,,10
x,sindxf(x,y)dy (6)(其中a,0)( x,,,0sin2
答案:改换下列二次积分的积分次序:
1ydyf(x,y)dx (1), ,,00
解 由根据积分限可得积分区域D,{(x～ y)|0,y,1～ 0,x,y}～ 如图,
因为积分区域还可以表示为D,{(x～ y)|0,x,1～ x,y,1}～ 所以
y111 dyf(x,y)dx,dxf(x,y)dy, ,,,,x000
22y (2), dyf(x,y)dx2,,0y
2 解 由根据积分限可得积分区域D,{(x～ y)|0,y,2～ y,x,2y}～ 如图,
x 因为积分区域还可以表示为D,{(x～ y)|0,x,4～ }～ 所以 ,y,x2
4x22y,dxf(x,y)dy , dyf(x,y)dxx,,2,,00y2
211,ydyf(x,y)dx (3), 2,,0,1,y
2
22 解 由根据积分限可得积分区域～ 如图, D,{(x,y)|0,y,1, ,1,y,x,1,y}
2 因为积分区域还可以表示为～ 所以 D,{(x,y)|,1,x,1, 0,y,1,x}
2211,y11,x dyf(x,y)dx,dxf(x,y)dy 2,,,,0,1,y,10
222x,x (4), dxf(x,y