初中数学压轴题之函数与几何.doc

1、(2021四川绵阳）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点,点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x +c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点，其中B（—3,0)，M（0,-1).AM=BC.
(1）求二次函数的解析式；
（2）段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点
Q在线段DA上，从点D出发向点A运动,点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值（精品文档请下载）
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当⊿ROB面积最大时，求点R的坐标.
考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数最值的应用;三角函数和勾股定理的应用;待定系数法求二次函数解析式。（精品文档请下载）
专题：计算题；代数几何综合题。
分析：（1）点A（4，0)和点（—2，6)代入抛物线y=ax2+bx，得：
16a+4b=0 a=
4a-2b=6 解得： b= —2 从而求出解析式。
（2）先得到∠ OAD=∠AOB ，作OF⊥AD于F,再算出OF的长，t秒时，OP=t，DQ=2t，假设PQ⊥AD 那么FQ=OP= t（精品文档请下载）
DF=DQ—FQ= t ⊿ODF中，t=DF===1。8（秒)
（3）先设出R（x, x2-2x) ，作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I，那么RG= x OG= x2+2x 再算出IR、HI的长，从而求出RH的长（ x—)2+（精品文档请下载）
当x=时，RH最大。S⊿：x2-2x=×（)2—2×=-
∴点R(,—）
解答：
　　（1）把点A（4，0）和点（—2，6)代入抛物线y=ax2+bx，得:
16a+4b=0 a=
4a—2b=6 解得： b= —2
∴抛物线的函数解析式为：y=x2-2x
（2）连AC交OB于E
∵直线m切⊙C于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO ∴ =
∴AC⊥OB ∴m∥OB ∴∠ OAD=∠AOB
∵OA=4 tan∠AOB=
∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3
作OF⊥AD于F
OF=OA·sin∠OAD=4×=
t秒时，OP=t，DQ=2t,假设PQ⊥AD 那么FQ=OP= t
DF=DQ-FQ= t ⊿ODF中，t=DF===（秒）
(3）令R（x, x2-2x） (0＜x＜4)
作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I
点评:此题主要考察对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，三角函数和勾股定理的应用等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进展计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度．（精品文档请下载）
4、（2021湖北荆门12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交
y轴于点E，连接AB、AE、BE．tan∠CBE=，A（3,0），D（﹣1，0），E（0，3）．（精品文档请下载）
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
（2)求证:CB是△ABE外接圆的切线；
(3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形和△ABE相似，假设存在，直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由;（精品文档请下载）
（4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE和△ABE重叠部分的面积为s,求s和t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．（精品文档请下载）
【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3,0），D（﹣1，0)，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3)（x+1).（精品文档请下载）
将E（0,3）代入上式，解得：a=﹣1。
∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1）,即y=﹣x2+2x+3.
又∵y=－x2+2x+3=－(x－1）2+4,∴点B(1，4）。
（2）证明：如图1,过点B作BM⊥y于点M，那么M（0,4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3,
∴∠1=∠2=45°，。
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM,
∴∠MEB=∠MBE=45°，.
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。
∴AB是△ABE外接圆的直径.
在Rt△ABE中，,∴∠BAE=∠CBE。
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°,即CB⊥AB。（精品文档请下载）
∴CB是△ABE外接圆的切线。
（3)存在。点P的坐标为（0，0）或(9，0)或（0，﹣）。
（4)设直线AB的解析式