初中数学竞赛代数部分分类.doc

第一讲 因式分解(一)
　　多项式因式分解是代数式恒等变形基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法及技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需，而且对于培养学生解题技能，x14+x13+…x2+x+1)，
　　所以
　　说明 在本题分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)技巧，这一技巧在等式变形中很常用．
　　2．拆项、添项法
　　因式分解是多项式乘法逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消项，即把多项式中某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项目是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
　　例4 分解因式：x3-9x+8．
　　分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解几种解法，注意一下拆项、添项目及技巧．
　　解法1 将常数项8拆成-1+9．
　　原式=x3-9x-1+9
　　　　=(x3-1)-9x+9
　　　　=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
　　原式=x3-x-8x+8
　　　　=(x3-x)+(-8x+8)
　　　　=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
　　原式=9x3-8x3-9x+8
　　　　=(9x3-9x)+(-8x3+8)
　　　　=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　解法4 添加两项-x2+x2．
　　原式=x3-9x+8
　　　　=x3-x2+x2-9x+8
　　　　=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
　　　　=(x-1)(x2+x-8)．
　　说明 由此题可以看出，用拆项、添项方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要是要依靠对题目特点观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强一种．
　　例5 分解因式：
　　(1)x9+x6+x3-3；
　　(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
　　(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
　　(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
　　解 (1)将-3拆成-1-1-1．
　　原式=x9+x6+x3-1-1-1
　　　　=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
　　　　=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
　　　　=(x3-1)(x6+2x3+3)
　　　　=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
　　(2)将4mn拆成2mn+2mn．
　　原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
　　　　=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
　　　　=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
　　　　=(mn+1)2-(m-n)2
　　　　=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
　　(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
　　原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
　　　　=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
　　　　=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
　　　　=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
　　(4)添加两项+ab-ab．
　　原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
　　　　=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
　　　　=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
　　　　=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
　　　　=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
　　　　=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
　　说明 (4)是一道较难题目，由于分解后因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再及第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
　　3．换元法
　　换元法指是将一个较复杂代数式中某一部分看作一个整体，并用一个新字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
　　例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．