主成分分析与因子分析的异同分析(共11页).docx

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主成分分析与因子分析的异同分析
摘要
=()=(…,),,是相应的特征值和单位特征向量,≥…≥≥ 0。
+(为特殊因子),
因子载荷矩阵m = ()=,
=（ …,）
为初等因子载荷矩阵（同左）。
因变量方差最大化   
Fi依次达到信息贡献最大化,
Var Fi=。             
Zi没有达到最大化，Var Zi=1。
矩阵方差最大化旋转
无, 旋转后就不是主成分了，因为
Var Fi ≠λi 。
有,为方差最大正交旋转矩阵，m达到方差最大化。
标准正交性
是，即(判据之一)。
非，因为。
因变量对X
的贡献
特征值。
vi=，vi，通常> v1 。
相关系数
=。
=。
命名依据
用(,…,)式中系数绝对值大的对应变量对Fj命名，有时命名清晰性低。
将的第j列绝对值大的对应变量归为Zj一类并由此对Zj命名，命名清晰性高（精细）。
回归过程
无。
有,因子得分函数
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综合评价函数及方差
F综 = Fi ，
Var F综 = (，或
…+, 通常VarF综 > VarZ综，
即F综 的取值范围通常比Z综 大。
Z综 =Zi, vi(判据之一) Var Z综 = (（旋转后因子贡献从变为vi，因此权数应取为vi/）,
或v1 + v2 +…+vm 。
应用上侧重
信息贡献影响力综合评价。
成因清晰性的综合评价。
注意：主成分分析有时命名清晰, 此时既能达到信息贡献影响力综合评价效果, 又能达到成因清晰性的综合评价效果，此时主成分分析的结果多数优于因子分析的结果。
以上说明：主成分分析与因子分析定量上不同的显著性标志是方差。事实上,VarFi >(<) VarZi =1,即Fi 的取值范围比Zi 的取值范围大(小)；通常VarF综 > VarZ综 ,即F综 的取值范围比Z综 的取值范围大（见表5、8），这些都肯定了主成分分析与因子分析的定量值评价体系不同。
结论：主成分分析与因子分析两种方法方差、最大化方向不同，直接导致主成分值、因子得分值、综合评价值和应用侧重上不同,综合评价应该分开进行, 混淆在一起是不同定量值交替错误。
出错带来的危害：如在企业的综合评价中，某行业通过样本搜集,可确定出主成分分析、因子分析各自优、良、中、一般的定量值范围，两种方法确定的定量值范围肯定不同，如果混用二种方法，那么就会带来二种方法定量值的误用, 甚至误评，使企业失去公平竞争机会。在医学诊断、经济竞争力等综合评价问题中也是如此。
检验: 用实际结果、经验和原始数据做聚类分析对综合评价值进行检验。
争议解决：用原始数据做判别分析解决综合评价中的争议。
 
四、避免出错的方法步骤
：
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①指标的正向化[2]。
②指标数据标准化（SPSS软件自动执行）。
③指标之间的相关性判定: 用SPSS软件中表“Correlation Matrix(相关系数矩阵)”判定。
④确定主成分个数m：用SPSS软件中表“Total Variance Explained(总方差解释)” 的主成分方差累计贡献率%、结合表“Component Matrix(初始因子载荷阵)”中变量不出现丢失确定主成分个数m。  
⑤主成分Fi表达式（这是SPSS软件及其教科书中没完善的地方）：将SPSS软件中表“Component Matrix”中的第i列向量除以第i个特征根的开根后就得到第i个主成分函数Fi的系数（在“transform -->compute”中进行计算），由此写出主成分Fi表达式。用的=检验之。
⑥主成分Fi命名：用SPSS软件中表“Component Matrix”中的第i列中系数绝对值大的对应变量对Fi命名(有时命名清晰性低)。
⑦主成分与综合主成分(评价)值（这是SPSS软件及其教科书中没完善的地方）：综合主成分(评价)公式 F综 = Fi （在“transform -->compute”中进行