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弗赖登塔尔的数学教育思想
 
荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。在他担任期间，召开了第一届国际数学教育大会（ICME—1)，并创办了《Educa-tional端，你就会看到建立概念的典范是通过“外延”来描绘一个概念，即描绘具有概念所反映的特性的对象全体，由此来理解并掌握这个概念；随着现代数学的进展，人们感到通过“外延”的描绘，从而形成概念的印象这个方法，在不少情况下难以到达预定的目的；在更多的内容中，人们借助于具有这些特性的所有对象，从各种特殊情况中，描绘它们的共性，阐述它们所必须满足的共有关系，解释它们所受的相关的约束、限制条件等等，从而抽象出一个更广泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念；它的本质就是以隐含的方式描绘了所要研究的对象,它并未明确指出概念的“外延”，但却已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义,跳出了亚里土多德的形式逻辑的理论，从而使现代数学跨上了更高程度的形式体系，就如以布尔巴基为代表的学说,认为整个数学也只是对
“构造”的研究。（精品文档请下载）
从整数的有序对来建立有理数，当然需要附上一个等价关系:那就是~的充分而又必要条件是ad＝bc(这里a、b、c、d均为整数,bd≠0)，于是有理数就作为是有序整数对的等价类,，却采取了另外的形式,通常是规定在某个集合中,定义了一个运算，使之符合结合律，并且存在单位元和逆元,，例如整数集是个加法群，非零有理数集是个乘法群；同时,也可以适用于其他的如置换群和变换群,这就是因为在群概念的抽象化过程中,并未明确规定具有有关特性的对象，，已经充分表达了这种方式,点、直线、平面究竞是什么,虽然去掉了像欧几里德所作的“点是没有部分的”这类模糊的描绘,但也并未给出任何明晰的阐述，却只是隐含地描绘了点、直线、平面之间的关系和性质,而正是这些关系和性质，在演绎推理过程中起了本质性的作用。日常生活中，我们也会有这种体会，就像下棋，人们并不在乎棋子的大小、颜色、甚至质地和形状，注重的恰恰只是棋子所必须服从的活动规那么。（精品文档请下载）
弗赖登塔尔之所以强调这一特性,，它不仅是传授知识，更重要的是在教学过程中,让学生自己亲身理论,而抓住其开展规律，学会抽象化、,近年来已开场注意一些现代“构造”、“公理化"思想方法的浸透，但如何抓住其精萃,真正的“浸透"，并且又不至太脱离了详细的现实世界，超越了当前教育的理论根底；要使我们的数学教育脚踏实地地赶上世界潮流，而不仅是囫囵枣地咽下一些新名词,何况这些数学“公理"、数学
“构造”，毕竟还需要人们所赖以生存的现实物质世界作为根底，假设忘记了这个背景，再高深、再严密的抽象概念，也难以让人们掌握和领会。（精品文档请下载）
3．传统的数学领域之间界限的月趋消失，一贯奉为严密性的典范的几何，外表上看来似乎已经丧失了昔日的地位，本质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用;正如康德(Kant）所说:没有概念的直观是无用的,没有直观的概念是盲目的。当年欧几里德的《几何本来》曾被奉假设神明，可是今天,在布尔巴基学派的构造主义数学中，几何却占据了很少的篇幅,学校数学教育中，几何的地位也已岌岌可危，可实际情况又是怎么样呢?（精品文档请下载）
现代数学的公理化形式就是来源于希尔伯脱的几何公理系,几何的术语如“空间”、“维”、“邻域”、“映射"、…等几乎渗入了数学的各个领域．复函数理论的开展，根底在于复数表示为平面的点；代数方程xn＝1的意义之说明,和复数平面中正n边形的作法亲密相关;集合论的研究更充分显现出几何直观的数轴、点集、映射、…等，如何作为一种重要的组织方法；测度论是在几何面积概念的根底上形成的，而拓扑中最有力的代数方法恰是开场于最根本的形状—-多面体的直观研究。（精品文档请下载）
大多数现代数学的概念和问题,都有着一定的几何背景,有关问题的解决，也常常依赖于头脑中能否出现明晰的n维空间甚至无限维空间的直观形象，或是找到适当的几何解释，几何形象常常导致问题解答的途径。且看爱因斯坦的一段精辟阐述：“数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学定理假设必然，它就不涉及现实，…，公理化的进展就反映在逻辑形式和现实直观内容的截然分开，…”而几何恰恰是在其间起着启示、联络、理解,甚至提供方法的作用，在界限日趋消失的现代数