高中数学不等式知识点.docx

高中数学不等式知识点.docx不等式
知识点归纳：
一、不等式的概念与性质
1、 实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
a>b a-b > 0 a < b o a-b <0 a = b a-b - 0
2、 不等式的性质：
a> b b < a , a<b -1 k + 1
换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为 简，常用的换元有三角换元和代数换元。.如：
已知亍+/=。2,可设* = acos。, y = asin。；
已知 x2 + y2 <1,可设x = rcos0,y = rsin。(0 < r < 1)； 2 2
已知 A +土 = 1,可设x = acosQy =Z?sin。；
a b~
2 2
已知「一二=1,可设x = asec。, y = Z>tan。；
a b
构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是 证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当 的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特 点。
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究。
例 1 已知 a, b£R,且 a+b=l □
求证：(a + 2)2 +(Z? + 2)2 > — o
证法一：(比较法)
\9 a, b ^R,a + b = l,:.b = l —a 9 7 25 o
S + 2)+ (Z? + 2)—项=+ 所 + 4(。+ 们—： o 1 |
= a2+(l-«)2+4 ——=2疽一2a +— = 2(a——)2>0 2 2 2
即(o + 2)2+0 + 2)2 2?(当且仅当a = b = ?时，取等号)。
证法二：(分析法)
(0 + 2)2 +(3 + 2)2 2?<=疽 +b2 + 4(« + Z?) + 8>y
b = l-a
日， 9 25 1 9
a2 +(l-a)2 +4 + 8> —«=(a— —)2 > 0
、 2 2
因为显然成立，所以原不等式成立。
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的
充分条件。
证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略)。
证法四：(反证法)假设(0 + 2)2+© + 2)2 <?,
25
贝 lj a2+b2+4(a + b) + 8<—o
2
25
由 a+b=l,得 b = 1 - ,于是有 /+(1一。)2+12 <一・ 2
所以(fl--)2 <0, 2
这与2 0矛盾。
所以(a + 2)2+^ + 2)2>^o
证法五：(放缩法)... 0 + 5 = 1
—12
./ 、2 - 、2 (。+ 2)+ (/? + 2)
..左边=S + 2)+(Z? + 2)2 2 瑚 L
= !〔(" +幻+ 4]2 =号=右边。
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=l这个特点，选用基本不等式
瑚。
证法六：(均值换元法)'：a + b^l,
所以可设a = — + t, b - — -t,
2 2
9 9 1 1
左边=(« + 2)+(/? + 2)=(- + ? +2)2+(--? + 2)2
(5丫 ( 5丫 25、25 十 f =1 ?+-I +1 I =2r+ —> —
当且仅当t=0时，等号成立。
点评：形如a+b=l结构式的条件，一般可以采用均值换元. 证法七：(利用一元二次方程根的判别式法)
设 y= (a+2)2+ (b+2)2,
由 a+b= 1,有 y — + 2)2 + (3 — a)? — 2。之—2。+ 13,
所以 2〃—2i + 13—y = 0,
因为avR,所以A = 4 —4・2・(13—y)20,即项。
故(Q + 2)2 + (/? + 2)2 > —
2 o
品【c 1 八 w be cic cib、 1
p!] 2 c > 0 , : 1 1 Z a + b + c。
a b c
证：— + ^>2c,同样地，利用均值不等式，我们可以得到 a b
_,bc ac ab、、〜 7 、叫 be ac ab、 7
2(— d 1 ) > 2(i + /? + c), BP 1 1 > a + b + c o
a b c a b c
例 3 已知x,y >0,x+y = 1, (1 + —)(1 + —)>9 o
、-r " I、” I、 x+y. x+ y. 4 2y 2x . „
证：(! + —)(! + —) = (1 + )(1 + ) = 4 + — + ——+ 1>9
x y x y x y
例