概率论与数理统计公式集合.docx

概率论与数理统计必考知识点
＞随机事件和概率
1、随机事件及其概率
运算律名称
表达式
交换行
A+B=B+AAB=BA
结合得
于
(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C(AB)C=A(BC)=ABC
分配得
D(Y)
5、协方差：Cov(X,Y)=E(X,Y)_E(X)E(Y)若XY相互独立则：Cov(X,Y)=0
6、相关系数：一(XY)=.C；()X,D；)若2相互独立则：认=0即XY不相关
7、协方差和相关系数的性质
Cov(X,X)=D(X)Cov(X,Y)二Cov(Y,X)
Cov(X1x2,y)=cov(x1,y)cov(x2,y)cov(axc,byd)=abcov(x,y)
&常见数学分布的期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布B(1,P)
P
P(1—P)
二行分布B(n,P)
np
np(1-P)
泊松分布RD
扎
人
几何分布G(p)
1
P
1-P
2P
超几何分布H(N,M,n)
MnN
M叫
MN_m1N)N-
均匀分布U(a,b)
a+b
2
(b-a)212
正态分布N(P,<j2)
P
2
指数分布E⑴
1
1
扎
五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式
E(X), ,D(X)*2,对于任意
(1)若X1--Xn相互独立)E(Xi) =比，D(Xi)
1 n p 1
且 口 i2
、丸
M 贝 S:，送 Xi 八，送 E(Xi),(nT?
n i一
n iA
⑵若X< Xn相互独立同分布)且E(Xi)=n则当
n 时： ―、 Xi— P Z
n y
3、中心极限定理
(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为
, 方差为二 2 0 的独立同分布时，当
n 充分
.0有P{X_E(X)_}乞或P{X—E(X)J}_1_2八2
,n,n
2、：
大数定律：若X<Xn相互独立且n_「时，?XiD.!',E(Xi)ni4n」
大时有:
n
Xk-nJ
YnJN(0,1)
、n；「
拉普拉斯定理：随机变量n(n=1,2)~B(n,p)则对任意X有:
t2
n—npX1_
J叭只nP(1M-Xa-=.2.——e2dt
n
⑶近似计算：P(aXk乞b)=P(a-nJ心
k仝Jnb
n
为Xk-nP-
门")：：：泸-n
)_：.：严-
n")
Jnu
Jn八
tnu
Jncr
六、数理统计
n
,X2 …Xn) : | ] F(Xk)
1、总体和样本
总体X的分布函数F(x)样本(Xi,X2Xn)的联合分布为F(xi
2统计量
(1)样本平均值:
(3)样本标准差:
nnn
XXi(2)样本方差：s2=1'(Xi_X)l1'(Xi2nX)
nynJyn-1y
■彳n
s17(XiX)2(4)样本k阶原点距：Ak-±7Xik,k-1,2…
匚斗
n•
(5)样本k阶中心距：Bk二Mk二、、(Xi一刃k,k=2,3…niA
(6)次序统计量：设样本(Xi,X2…Xn)的观察值(Xi,X<,Xn),将X?…Xn按照由小到大的次序重新排
列，得到X⑴沁(2)--_X(n),记取值为X(i)的样本分量为X(i))则称X(i)沁(2)—_X(n)为样本(Xi,
X2…Xn)的次序统计量。X(1)=mirX(,X2…Xn)为最小次序统计量；X(n)-maXX(1,X2…Xn)为最大次序统计
a
里Q
3、三大抽样分布
(1)2分布：设随机变量Xi,X<Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(o,1)，则随机变
量AX2X2X2所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为2~2(n)
性质：①E[2(n)]=n,D[2⑻]=2n②设X~2(m),丫？2(n)且相互独立,则XY~2(m-n)
⑵t分布：设随机变量X?n(o,1),Y?2(n),且XVY独立，则随机变量：-：n所服从
的分布称为自由度的n的t分布，记为T~t(n)
(x4V
性质：①E[t(n)]=O,D[t(n)]一,(n2)②limt(n)=N(0,1)=1e
n_2J2兀
⑶F分布：设随机变量U?2(ni),V?2代))且U与V独立)则随机变量F(n1,n?)二严所
Vn2
服从的分布称为自由度(n1,n2)的F分布，记为F?Fgm)
性质：设X?F(m,n),贝S_L?F(n,m)X
七、参数估计
参数估计
⑴定义：用r(Xi,X2「・Xn)估计总体参数二,称二(Xl,X2「・Xn)