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攻克解析几何综合题的几种策略
收稿日期：2012-05-11
作者简介：郭允远（1963—），男，山东沂南人,中学高级教师，临沂市教育局教科研中心高中数学教研员,山东省教学能手，山东省知名高考研究专家，主要从事中学数学教育与高考线，交抛物线于A、B两点，若过M、P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程.
解析：（1）易得圆心M(0,4)到准线的距离为.
（2）本题涉及三个动点P、A、B，两条动直线AB，l两种位置关系：相切、垂直，要求直线l的方程，需求l的斜率或点P的坐标,离已知条件甚远,所以要实施分部转化,先大胆设出三个动点的坐标,用坐标表示两种位置关系.
设，、由题意得，，.
【点评】利用点P、A、B在抛物线＝上,巧设点的坐标,较少了变量个数，使得以下的解法优于试题原答案的解法；注意挖掘题目的隐含条件也是重要的一点.
所以PA方程为,即.
因为PA与圆M相切，所以,即.
同理,
所以、是关于t的方程的两个根.
所以，.
而=.
【点评】整体求出、整体代换的整体策略在这里得到了充分地体现！至此，问题的解决便水到渠成.
又，因为，所以，
即，解得.
所以，所以直线的方程为.
数形结合，减少运算
解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，注意利用图形特点和性质,往往可以减少运算量,使问题获得简捷解决.
例3(2010年陕西卷·理20）
如图，椭圆的顶点为焦点为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于
A、B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解析: （1）易得.
(2)由条件,则有，
即可得所以，故
.
当直线l不垂直于x轴时，设l：y=kx+m，由，得
，即
将直线l的方程代入椭圆方程，整理得
设点A、B的坐标分别为，则.
由上得，即，再把
代人并化简，得，将代入得
，矛盾．即此时直线l不存在.
当l垂直于x轴时，可验证也不存在.
【点评】由条件得到，再由三角形相似关系推得，从而得到，这是一个由数到形、又由形到数的推理过程,既为本题的解决找到了突破口，，设出P、A、B的坐标代入，来寻求坐标间的关系，虽然也能解决问题，：
四、特“形”引路，先知后证
在解析几何的定点、定值等问题中，常常要先研究图形的特殊情形、临界状态，由此先得到结论，再进行一般情形下的证明.
例4（2005年全国卷I·理21）
已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a=（3，-1）共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且，求证：为定值.
解析：（1）易得离心率
（2）设出M点的坐标，将条件中的等式用坐标表示.
，则
由（1）问的结果，得椭圆方程为，将点M坐标代入即得
展开，围绕解题目标：证明为定值，故要分离出.
，于是
再如何进行呢？面对如此复杂的式子，，如果先通过点M的特殊位置猜出定值，可以为我们的解题指明方向.
当点M运动到点A时，则,即可发现定值是1
【点评】抓住问题的特殊性进行猜想是一种哲学方法.
于是,只要证明,这样解答方向明确，:
例5 以为焦点的椭圆C过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：第（1）问易得椭圆C的方程为.
第（2）问为定点问题,如果直接设定点T的坐标,转化为恒成立问题去解决,则运算非常繁琐；若研究直线l的两种特殊情况：
当直线l与x轴重合时，以AB为直径的圆是
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆是
由解得两圆相切于点（1，0）。因此所求的点T如果存在，只能是
再给出一般情况下的证明：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1,0),
若直线l不垂直于x轴，可设直线l的方程为
由得
记点，则
又因为
所以，即以AB为直径的圆恒过点T(1,0).
即在坐标平面上存在一个定点T(1,0)满足条件.
五、耐心细致，谨防错漏
以上介绍的四种策略,,解答一道解析几何综合题几乎都要用到以上策略，而且因为题目的长度大、难度大、运算量大，在学生找到入口形成思路的的前提下