不等式证明的若干方法(共23页).doc

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学科分类号 110

oration and research. After prove to master these methods may help us to solve some math problems.
Keywords: Comparative Law; value theorem; integral theorem
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引言
在数学学习过程中，不等式是基本的数学关系，不等式的证明也证明了它是数学领域一个非常重要的内容，然而，这些内容在初等数学与高等数学中又有一个很好的体现。到17世纪之后，它已经逐渐发展为不等式理论，成为数学基础的一个重要要组成部分。在不等式证明之前，要根据其结构特点，往往需要对其内部结构进行分析,来采取适当的，熟悉各种证据推理方法，并要掌握相应的环节，技术和语言特点，揭示问题的本质特点，使得难解的问题变动为可解性问题。
黄冬梅在《关于不等式证明的若干方法的探究》中提到过，利用“对称和均分”的观点。根据微积分的知识，通过一些例子来探讨不等式证明在初等数学中应用。东洪平在《利用二次求导确定函数单调性证明一些不等式》中涉及到，根据利用二阶导数方法来证明函数的单调性，通常用一个函数来求导确定，因此，某些函数的单调性不能确定的时候，《用数学归纳法证明一类不等式的技巧》中提到，对于一边是常数的数列不等式，不妨借助于数学归纳法，直接证明概括往往有一定的困难，如果使用不等式的传递性、可加性，通过增强命题，比例常数和其他技能，就可以成功完成了归纳过渡。
1 常用的不等式证明方法
比较法是不等式数学证明中最基本、最根本的方法，主要有作差法和作商法。
作差比较法
作差比较法：要证不等式，只要证即可。比较法包括以下几个步骤：作差、变形、判断的符号（正或负）、得出结论。
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例1 实数为正数，求证。
分析：两个多项式大小的比较通常是用作差比较法。
解：



小结:作差：要比较两个数（或式子）作差的大小;
变形：对差值进行因式分解或几个数（或式子）的完全平方和；
判别：结合变形和题设前提下判断差的符号。
作商比较法
商比较：在一般情况下，当均为正数时，借助或，来表示它的大小，一般步骤为：作商——变形——判别（大于1或小于1)。
例2 设，求证：。
分析:关于一些含有幂指数类型的题通常都用作商比较法。
证明： ，
又指数函数的性质，
当时，
;
当时，
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，，；
当时，
，，；
即
.
注：作商法通常适用于含“幂”、“指数”比较类型的式子。
分析法
分析法是从结论开始，一步步的向上推导，探索下去，然而证明已知的题目中设条件，在证明的过程中，推导的每一步都要可逆。
例3 已知：为互不相等的实数，求证：.
证明：要证成立，
即证明

需要证

即

因为,所以