三角形辅助线总结及口诀.doc

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三角形作辅助性方法大全
口诀：
总那么：{3}标注等线和等角，对顶角不要忘，相等边角要避开。
{3}1、等腰三线合；过腰上一点做另腰平行或底平行线。
等腰顶角是腰高和底夹角二倍，等腰三角形一腰延长线和另一腰构建新等腰三角形BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,那么
EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o
∵EB = EC
∴E在BC的中垂线上
同理A在BC的中垂线上
∴EA所在的直线是BC的中垂线
∴EA⊥BC
∠AEB = ∠BEC = 30o =∠PCB
由解法一知：∠ABC = 50o
∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC
∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB
∴△ABE≌△PBC
∴AB = BP
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o
∴∠PAB = (180o－∠ABP) = (180o－40o)= 70o
二、角比拟
1、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.
例：D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC
证法〔一〕：延长BD交AC于E，
∵∠BDC是△EDC 的外角，
∴∠BDC＞∠DEC
同理：∠DEC＞∠BAC
∴∠BDC＞∠BAC
证法〔二〕：连结AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角，
∴∠BDF＞∠BAD
同理∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC

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⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角
例：，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，
求证：AB＋BD = AC
证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE
那么∠BED = ∠BDE
∵∠ABD =∠E＋∠BDE
∴∠ABC =2∠E
∵∠ABC = 2∠C
∴∠E = ∠C
在△AED和△ACD中
∠E = ∠C
∠1 = ∠2
AD = AD
∴△AED≌△ACD
∴AC = AE
∵AE = AB＋BE
∴AC = AB＋BE
即AB＋BD = AC
⑵平分二倍角
例：，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC
求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，那么∠BAE = ∠CAE = ∠DBC
∵BD⊥AC
∴∠CBD ＋∠C = 90o
∴∠CAE＋∠C= 90o
∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o
∴AE⊥BC
∴∠ABC＋∠BAE = 90o
∵∠CAE＋∠C= 90o
∠BAE = ∠CAE
∴∠ABC = ∠ACB
例：，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，
求证：∠BAC = 2∠DBC
证明：〔方法一〕作∠BAC的平分线AE，交BC于E，那么∠1 = ∠2 = ∠BAC
又∵AB = AC
∴AE⊥BC
∴∠2＋∠ACB = 90o
∵BD⊥AC
∴∠DBC＋∠ACB = 90o
∴∠2 = ∠DBC
∴∠BAC = 2∠DBC
〔方法二〕过A作AE⊥BC于E〔过程略〕
〔方法三〕取BC中点E，连结AE〔过程略〕
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⑶加倍小角
例：，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC
求证：∠ABC = ∠ACB
证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F〔过程略〕
三、两线做比拟
1、截长补短作辅助线的方法
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等.
这两种方法统称截长补短法.
当或求证中涉及到线段a、b、c、d有以下情况之一时用此种方法：
①a＞b
②a±b = c
③a±b = c±d
例：，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，
求证：AB－AC＞PB－PC
证明：⑴截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN
在△APN和△APC中，
AN = AC
∠1 = ∠2
AP = AP
∴△APN≌△APC
∴PC = PN
∵△BPN中有PB－PC＜BN
∴PB－PC＜AB－AC
⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM
在△ABP和△AMP中
AB =