相似矩阵的性质及应用(共15页).doc

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引言：
矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。
由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。



设A,B是n阶方阵,如果存在可逆阵P使得P-1AP=B,则称矩阵A与B相似.
若矩阵A相似于对角阵,则称A可相似对角化,即存在可逆阵P使,为A的n个特征值.
令为非奇异矩阵，考察矩阵的线性变换

令线性变换的特征值为，对应的特征向量为，即

将式代入上式，即有或
令或，则式可以写作

比较和两式可知，矩阵A和具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即。由于矩阵和的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。于是：
设 、都是阶方阵，若有可逆方阵，使，则称是 的相似矩阵。或者说矩阵
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与相似。对进行运算 称为对进行相似变换。可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。
：
自反性：。
对称性：则。
传递性：及可得：。
如果阶矩阵,相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。
相似矩阵另外的一些特性：
1)相似矩阵有相同的秩。
2)相似矩阵的行列式相等。
3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。
4)则，、、（若，均可逆）、
从而，有相同的特征值。
5).若A与B都可对角化,则A与B相似的充分条件是A与B由相同的特征多项式.
6). A的属于同一特征值的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应的特征向量.
7). A的属于不同特征值的特征向量线形无关.
8). 实对称矩阵A的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.
9). 若是实对称矩阵A的r重特征值,则A对应特征值恰有r个线性
无关的特征向量.
10).任何一个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似.
11).对n阶方阵A，以下三条等价:
⑴A可对角化;
⑵A有n个特征值（重根按重数计），且r（＞1）重特征值;
⑶A有n个线性无关的特征向量.
12).对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.

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虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形。由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。
定义：形如

的方阵称为阶若尔当块。其中可以是实数，也可以是复数。
定理：矩阵的充要条件是他们相应的特征矩阵。
每个阶复矩阵都与一个若尔当标准形相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵唯一决定。
复矩阵可对角化的充要条件是的特征矩阵的初等因子全为一次式。
2. 相似矩阵在微分方程中的应用
许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）,如何求解微分方程（组）,约当标准形在其中的应用.
将常系数线性微分方程组