1-2子空间与子空间的分解2013.docx

§2线性子空间与子空间的分解
在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般为
s1
rs2
Pii
kiiqii,
ir1
i1ir1
所以
s1
Pii
叫W2.
ir1
从而有
s1
r
Pii
nii,
ir1
i1
r§S2
r§niPiio.
i1ir1
由1,2,,r,r1,,s1是Wi的基,线性无关，故
Pi0,ir1,,s「代入⑵式，得rs2kiiqii0,i1ir1而1,2,,r,r1,,s2是W2的基，于是ki0（i1,2,,r）,qi0（ir1,且），故1,2,,r,r1,,S1,r1,,S2线性无关，dim（W〔W2）r（s〔r）（S2r）S1S2r,定理得证.
从⑴式知，若W1W20，则有dim(W1+W2)<dimW1+dimW2,
这时W1
不是唯一的。
例如
W1Span
W2,x1
12
0,2,
00
X2,XiWi,i
0
W2Span1
0
1,2,具表达式中X1
33
,2，有2W1
00
X2
W2,
即W1
0[1
W20
00
。这时0
220]
W1
T3
W2口」有阳种表达式00
20T.
0和
例4设R3中的两个子空间是
-1
1
-1
-1
W1Span
11,
21
,W2Span13,2
1
0
1
0
-1
求W1W2及W1W2的基和维数。
解四^V?=Span1,2,i,2由于1122且1,2,2线性无关，故WiW2的一个基为1,2,2,其维数dim（W〔W2）=3。
由维数定理知dim(W1W2)=dim(叫)dim(W2)-dim(叫W2)=2+2-3=1
根据得到1212(0,2,1)T0W1W2,
从而(0,2,1)t为W1W2的一个基，其维数dim(W1W2)=1。
三、直和子空间
子空间的和W1W2的定义仅表明，其中的任一向量可表示为12,1W1,2W2。但这种表示法不一定唯一。
定义8设W1,W2是线性空间V的两个子空间，如果W1W2中每个向量的分解式12,1W1,02W2
是唯一的，WJW1W2称为W1,W2的直和，记为W1W2。
定理5设W1,W2是线性空间V的两个子空间，则下面几条等价W1W2是直和；⑵0向量表示法唯一，即由012(1W1,咆W2)得
120；W1W2=0;dim(W1)dim(W2)dim(wW2)证明
采用轮转方式证明这些命题。
(1)(2)
按定义，W1W2内任一向量表示法唯一，因而0的表示法当然唯(3)
用反证法。若WiW20,则有WiW2,0,于是
Wi,W2。而0(),这与零向量的表示是唯一的假设矛盾。
(4)
利用维数定理即得。
(1)
由维数定理知dim(WiW2)=0,即WiW2=
叫W2,如果
i2i2(i,iWi；如，0C2W2)则有ii2-2于是ii2-2WiW20,即ii0,2-200这说明ii,22因而表示法唯一。定理证毕。
定理6设Wi是Vn的一个子空间，则必存在Vn的子空间W2,使WiW2Vn。
证明：设dim(Wi)=m,且i,2
m是Wi的一个基，根据
定理2它可扩充为Vn的基1,2W2Spanm1,,n,显然W2就满足要求。
子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。
四、内积空间
前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加法和数量乘法进行的。与几何空间相比，向量的度量性质如长度、夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义内积，导出内积空间的概念。
定义9设V是实数域R上的实线性空间。如果对于任意的
,V，都有一个实数（，）与之对应，且满足
(1)(,)
(,);
(2)(,
)(,)(,);
(3)(k,)
k(,);
(4)(,)
0,当且仅当0时（，）0.
则称（，）为
与的内积。定义了内积的实线性空间V称为内
积空间，乂称欧几里得空间或Euclid空间（简称为欧氏空间）。
例如，在Rn中，定义内积（x,y）xTyxiyi。这时Rn成i1为内积空间。在内积空间Rn中，如果（x,y）0,则称x与y正交，记为xy。
设欧氏空间Rn中的基为1,2,n，欧氏空间中有两个向
n
mxii,
n
yjj，下面我们来计算，的内积。
i11
G(则有注:
X1X2
2,yXn⑴方阵G(