比较全面的等差等比数列的性质总结.docx

an a2 an 1 a3 an2
%等差数列
•等差数列的定义： an an 1 d (d为常数)fn 2)；
•等差数列通项公式：
an a-i(n 1)d dn 印 d(n N )
首项：a-,公差:d,末项：an
推
n取离二次函数对
或求an中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数，故
称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）o若S二Sq则其对称轴为n丄上
2
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
基本量法：即运用条件转化为关于 ai和d的方程；
巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.
2
:
—q q On 2,且 n N
an 1
:
an aiqn
首项：ai ；公比：q
推广:
an ampn m,
从而得qnm玉或q
am

(1)
如果a, A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项•即: 两个数才有等比中项，
(2)数列an是等比数列
人2曲或人・3!3注意：同号的 并且它们的等比中项有两个(两个等比屮项互为相反数)
a, a. 1 a. 1
等比数列的前n项和Sn公式:
⑴当q 1时，Sn nai 当
q a a“q
1 q 1 q
a1 a1 n
q A
1 q 1 q
ABn A*Bn A* (代 为常数)

(D
用定义：对任意的
n,都有an 1 qan或
a
口 q (q为常数，an0) {an}为等比数列
(2)
2
3n
等比屮项：an
an 1an 1 an 1an 1
0) {an}为等比数列
(3)
通项公式：an
A Bn A B 0
{ an}为等比数列
(4) 前n项和公式:
SnAABASn
A mn A • A n A • E 亠出 Wr
r Q 、 AL-A/r I tz 4^-

a n
{an}为等比数列
依据定义：若 一 q q 0 n 2,且n N或an 1 qa-
Qn 1
注意
q称作为
(1)等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：ai. q、n、&,其中a・i基本元 素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
冷减小孑苗昌 亜仕咅洛怖的址丁匚 一的■HT裙■旳洛TFH. a. ccn 1
如奇数个数成等差，可设为…， 一,，a,aq,aq2…(公比为q,中间项用a表示)；
qq
8 •等比数列的性质
(1)当q 1时
等比数列通项公式anaqn 1 Aqn A Bn A B 0是关于n的带有系数的类指数函数， 底数为公比q
q
a 1 qn n
前n项和Sh 1 8®色 a V A A Bn A*Bn A‘，系数和常数项是互为相反
1 q 1 q 1 q 1 q
数的类指数函数，底数为公比 q
⑵对任何m,n N*,a等比数列｛an｝中，有anamqnm,特别的，当时，便得到等比数列的通项公 式. 因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
2
⑶若 m+n=s+t (m, n, s, t N ),贝I] $q •特别的，当 n+m=2k 时，得
；主：ai an a2an1 a3an2
⑷列｛an｝ , ｛bn｝为等比数列,则数列｛—｝ , ｛ kan｝ 5-n) , ｛kanbn｝ ｛ ｝ (k为非零常数)均为等 比数
3n bn
列.
⑸数列｛an｝为等比数列，每隔k(k M)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列
⑹如果｛an｝是各项均为正数的等比数列，则数列｛logaan｝是等差数列 ⑺若｛an｝为等比数列，则数列Sn, S2n&, Ssn5n„成等比数列
(8)若©｝为等比数列，则数列ai aa a., aman2 a?n, a?ma?n2 a3n成等比数列
②当0<q 1
(9)①当q 1时,
时,
<an｝为递减数列
(an)为递增数列
aO,贝则｛an｝为递增数 ra1 0,则
列 0,则
a, 0,贝卩®｝为递减数列,
③当q=1时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列)
④当qvO时,该数列为摆动数列.
S奇1
(10)在等比数列｛an｝中，当项数为2n (n N )时，出 S禺q
⑴)若｛an｝是公比为q的等比数列，则Snm&qn Sm
例|> a)设an是等差数列，且&
a