矩阵理论第二讲方阵的对角化.ppt

矩阵理论第二讲方阵的对角化
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回顾与复习
矩阵理论的应用背景；
矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等 互异，故：
将上式代入(1)式，得
即k = m时，定理也成立
的线性无关的特征向量
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特征值与特征向量（Continue）
方阵的迹
设 ，定义
为方阵A的迹
定理
有且仅有n个特征值，且若 是A的n个特征值，则
的特征值是 ，而 的特征值为
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特征值与特征向量（Continue）
证明
对A的阶数用归纳法。A的阶数为1时， ，定理成立。设A的阶数为n – 1时定理成立，需要证明A的阶数为n时，定理也成立。
由行列式的性质
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特征值与特征向量（Continue）
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特征值与特征向量（Continue）
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特征值与特征向量（Continue）
上式中
再令上式中λ ＝ 0，则
又因为 是 的n个根，所以
比较上式中 的系数和常数项：
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特征值与特征向量（Continue）
由上式可以立即得到两条推论：
满秩 A的所有的特征值都异于零
对 ，0是A的特征值
证明 也是 的特征值
证明 是 的特征值：
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特征值与特征向量（Continue）
用数学归纳法证明
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方阵乘积的迹
定理
设 ，则
证明：
设 ， ，则AB的对角线元素为
而BA的对角线元素为
于是
改变求和顺序
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方阵的相似
方阵相似的定义
设 ，若 使得
则称A与B相似，记作
相似矩阵的性质
自反性
对称性
传递性 ，
保秩性
行列式相等
矩阵函数相似
特征多项式、特征值相同
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方阵的相似（Continue）
设
因为 ，所以 使得
那么
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方阵的对角化
方阵可对角化的定义
对 ，若 ，则称方阵A可对角化
问题：
如何判定一个方阵可对角化？
可对角化的方阵如何实现可对角化？
方阵可对角化的充要条件
可对角化 A有n个特征值，且每个特征值的几何重数等于其代数重数
证明：
（充分性）设 有n个特征值：
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方阵的对角化
方阵可对角化的定义
对 ，若 ，则称方阵A可对角化
问题：
如何判定一个方阵可对角化？
可对角化的方阵如何实现可对角化？
方阵可对角化的充要条件
可对角化 A有n个特征值，且每个特征值的几何重数等于其代数重数，即：
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方阵的对角化（Continue）
可对角化方阵的对角化方法