三角函数知识点总结.doc

第六章 三角函数
一、根底知识
定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。假设旋转方向为逆时针方向，那么角为正角，假设旋转方向为顺时针方向，那么角为负角，假设不旋转那么为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，象。
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx（x∈[-1， 1］），函数y=cosx(x∈[0， π］） 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx（x∈［—1, 1］). 函数
y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx（x∈［—∞, +∞])。 y=cosx（x∈［0， π］)的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈［-∞， +∞］）。
定理15 三角方程的解集，假设a∈（—1,1）,方程sinx=a的解集是{x｜x=nπ+(—1）narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z｝。 假设a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=;arctana+arccota=。
定理16 假设，那么sinx<x<tanx。
二、方法和例题
1．结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg|x｜的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx和y=lg｜x|的图象（见图)，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解.
2．三角函数性质的应用.
例2 设x∈（0, π）, 试比较cos(sinx)和sin(cosx）的大小.
【解】 假设,那么cosx≤1且cosx>-1，所以cos，
所以sin(cosx) ≤0，又0<sinx≤1， 所以cos（sinx）>0，
所以cos（sinx)〉sin（cosx）。
假设，那么因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin（x+)≤<，
所以0〈sinx<-cosx<，
所以cos(sinx)>cos（-cosx）=sin(cosx).
综上,当x∈(0,π）时，总有cos(sinx)<sin(cosx).
例3 α,β为锐角，且x·（α+β-）〉0,求证：
【证明】 假设α+β>，那么x>0,由α>—β>0得cosα〈cos(—β)=sinβ,
所以0<<1，又sinα〉sin（-β)=cosβ, 所以0<<1，
所以
假设α+β<，那么x<0，由0<α<-β〈得cosα〉cos(—β)=sinβ>0，
所以>1。又0〈sinα<sin(-β)=cosβ，所以〉1，
所以,得证。
注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期确实定。
例4 求函数y=sin(2cos｜x｜）的最小正周期。
【解】 首先,T=2π是函数的周期（事实上,因为cos(-x)=cosx，所以co｜x|=cosx）;其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为｜2cosx|≤2<π）,
所以假设最小正周期为T0，那么T0=mπ， m∈N+，又sin（2cos0）=sin2sin(2cosπ），所以T0=2π。
4．三角最值问题.
例5 函数y=sinx+，求函数的最大值和最小值。