定义法判断函数的单调性.docx

使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数
单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义：
一般的，设函数f(x)的定义域为I:
1)、
使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数
单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义：
一般的，设函数f(x)的定义域为I:
1)、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量Xi,X2,当Xi<X2时
都有f(Xi)二：f(X2).那么就说f(x)为D上的增函数;
2)、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量X,X2,当X<X2时都有f(Xi)
■f(X2),那么就说f(x)为D上的减函数。
例1:已知：？、：是方程4x12-4kx-1=0(k?R)的两个不等实根，函数
f(x)二一八k的定义域为‛，：1,判断函数f(x)在定义域内的单调性，并证明。
x+1
证：令g(x)=4x2-4kx-1,贝U函数图象为开口向上的抛物线。
设：-x1：:X2：,贝u4x：—4kx1—1_0,4x।-4kX2-1_0;
将上述两个式子相加得：
22
4(x1X2八4k(x1X2)-2_0,
由均值不等式，可得2X1X2—X12-X；;
X1
2乂公八k(x1x2)0,
2
则f(X2)-f(X1产看_沪=2-X1并32分一即冬、
1
又k(x1x2)-2xA22?为x2)-2xA20,
X2+1Xi+1
(Xi+1)(X2+1)
所以f(X2)-f(xj?0,故f(x)在区间］上是增函数
例2、求证f(x)=x+J2—x在一日勺_1I上为增函数。I4」
解：取Xi：：：X2乞4,贝(]f(Xi)-f(X2)=(Xi-X2)?2-Xi-2-X2,
分子、分母同时乘以..2-Xj?2-x2,得
(Xi—X2)(J2_x〔+乙：2_X2—i)
"g一八£:
1
函数在7为单调递增函数
由Xi-X2：::0,.2-Xi?2)'2—X2-2,所以f(Xi)-f(X2):::0,
从上面两个例子可以看出，在应用定义判别法的时候，首先取定定义域中不等两
点，对其函数值作差，判断其大小。但是，在做题过程中，不乏对不等式的灵活应
用，因此，需熟练掌握一些常用的不等式。
知识链接:
常用的基本不等式
(2)、设a、bR,贝Ua2b2_2ab,