四年级抽屉原理.doc

四年级抽屉原理.doc四年级抽屉原理
四年级抽屉原理
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四年级抽屉原理
抽屉原理
知识结构
一、知识点介绍
抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中
的问题，因此，of15
四年级抽屉原理
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四年级抽屉原理
【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】略。
【答案】把自然数按照除以5的余数分成5个剩余类，，根据抽屉原理，至少
有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相同，因此它们的差是5的倍数
【例3】任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做和)．
【考点】抽屉原理
【难度】3星
【题型】解答
【解析】略．
【答案】把这
2008个数先排成一行：
a1，a2，a3
，，a2008，
第1个数为a1；
前2个数的和为a1a2；
前3个数的和为a1a2a3；
前2008个数的和为a1a2a2008．
如果这2008个和中有一个是2008的倍数，那么问题已经解决；如果这2008个和中没有2008的
倍数，那么它们除以2008的余数只能为1，2，，2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除
以2008的余数相同，那么它们的差(仍然是a1，a2，a3，，a2008中若干个数的和)是2008的倍数．所以结论成立
【巩固】20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题．证明：小明一定在连续的若干天内恰好
做了7道题目．
【考点】抽屉原理
【难度】3星
【题型】解答
【解析】略．
【答案】设小明第1天做了a1
道题，前2天共做了a2道题，前3天共做了a3
道题，，前14
天共做了a14
道题．显然a1420
，而
a1
～
a13
都小于20．考虑
a1
a2
a3
a14
及
a1
7a2
7
a3
7
，，
，
，
，，
，
，
a147这28个数，它们都不超过27．
根据抽屉原理，这28个数中必有两个数相等．由于
，，，，
互不相等，
a1
，
，
7
，，
a1a2
a3
a14
7a2
7a3
a14
7也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，即有：
aj
ai7，所
以
a
j
i
7
．这表明从第i
1天到第j
天，小明恰好做了
7道题．
a
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【例4】把1、2、3、、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17．
【考点】抽屉原理
【难度】3星
【题型】解答
【解析】略．
【答案】(法1)把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为
a1、a2、a3、、a10．相邻的三个数为一
组，有a1a2a3、a2a3a4
、a3a4a5
、、a9a10a1、a10a1a2
共10组．
这十组三个数之和的总和为：
a1
a2
a3+a2
a3
a4
+
+a10a1
a2
3a1
a2
a10
355
165
，
165
16
105，根据抽屉原理，这十组数中至少有一组数的和不小于
17．
(法2)在10个数中一定有一个数是
1，不妨设a10
1，除去a10
之外，把a1、a2
、a3、、a9
这9
个数按顺序分为三组
a1a2a3、a4a5a6、a7