函数的连续性.doc

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第九节 函数的连续性和间断点
有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。如气温随时间的变化而连续变化，铁棒长度随着修改定义后，那么函数处处连续，称函数为函数的连续延拓函数。

，试讨论在处的连续性。
，并指明是哪一类间断点。
〔1〕； 〔2〕；
〔3〕； 〔4〕
，问怎样补充定义，才能使在处连续。
，函数在点处连续。
第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性
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一、连续函数的运算

定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。
证明 以两个函数为例，设，均在点连续，考虑
。
由，以及和的极限等于极限的和，有
所以在点连续。
一般地，我们有
，
其中为有限正整数。

定理2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。
证明 以两个函数为例，设，均在点连续，考虑
。
注意到，以及积的极限等于极限的积，我们有
，
所以在点连续。
一般地，我们有
，
其中为有限正整数。

定理3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。
证明 由，以及分母不为零时，商的极限等于极限的商，设，我们有
，
所以在点连续。
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例1 ，，，均是两个连续函数，之商，而，是在上连续的函数，所以，，，在它们的定义区间内〔排除分母为零的点〕连续。
从而可得，三角函数在其定义区间内连续。
、连续
定理4 如果函数在某区间上单调且连续，那么它的反函数
也在对应的区间上单调且连续。
证明 设的定义域为，值域为，且单增。显然
在对应的区间上单调递增，所以仅证反函数的连续性。取，假设不是的端点，那么对应找出，使，且亦不为的端点〔假设是端点，由单调性知就是函数在上的最值，即端点，而这个可能性已被上述假设排除〕。从而，可找出，使且。令，，那么由单
调性，，再令，
那么且，且当
时，有，由于
也单增，所以，
图1-43
，从而当时，有
，即
在连续，见图1-43.
例2 证明反三角函数在其定义区间内都是连续的。
解 由于在上连续且单增，所以反函数在上也连续且单增。由于在连续且单减，所以反函数在上也连续且单减。由于在单增连续，所以反函数在上也连续且单增。由于在单减连续，所以反函数在内连续且单减。
总之反三角函数在其定义区间内都是连续的。

〔1〕函数连续时，极限符号可和函数符号交换次序。
定理5 设，，在点连续，那么复合函数当时的极限为
。
证明 由在点连续可得，，当时，
。又因为在点极限存在，我们有，对，，当
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时，。从而，〔通过找到的〕，当时，有
。
从而。
例3 求
解
〔2〕复合函数的连续性。
定理6 设在点连续，且。又在点处连续，那么复合函数在点也连续。
证明 由在连续，有。又在点处连续，故有，从而复合函数在点处连续。
例4 讨论函数的连续性。
解 因为，在 上连续，而在和上连续，由定理6，在和上连续。
二、初等函数的连续性
〔1〕三角函数、反三角函数在前边我们已证明了它们在定义区间内是连续的。
〔2〕有理函数，即两个多项式之商，前边已证在其定义区间内也连续。
*〔3〕指数函数在单调连续。
证明 只证的情况。
下面分两步证明。
①在点连续；
②在〔〕点连续。
证明① 因为，所以，，使。由于单增，所以，当时，，这说明。
又因为，所以，，使。由于单增，所以当时，有。从而。
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综合以上两方面得。注意，所以。这就证明了在点连续。
证明② 设为任意不为零的点。由①，。注意以下极限：
所以在点连续。
〔4〕
在中单调连续，
图1-44
知其反函数，即对数函数在
内也是单调连续的函数。
〔5〕幂函数，不管是何值，函数在内总是有意义的。
设，那么是由，复合而成的。由指数函数和对数函数连续性知亦连续。对于其他情况，也可以证明连续。
总之，根本初等函数在它们的定义区间内都是连续的。由连续函数的运算规那么知：一切初等函数在其定义区间内连续。
例5 设，那么在上有定义，但无