第二节二重积分的计算法.ppt

第二节二重积分的计算法
现在学习的是第1页，共39页
【复习与回顾】
(2)回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
体积元素
体积为
在点x处的平行截面的面积为
(1)上节思考题
代替
？第二节二重积分的计算法
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【复习与回顾】
(2)回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
体积元素
体积为
在点x处的平行截面的面积为
(1)上节思考题
代替
？
不能用
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其中函数 、 在区间 上连续.
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1)［X－型域］
【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
1. 【预备知识】
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(2)［Y－型域］
【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
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(3)［既非X－型域也非Y－型域］如图
在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)
则必须分割.
由二重积分积分区域的可加性得
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(1).若积分区域为X－型域：
2.【二重积分公式推导】
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
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即得
公式1
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3.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
公式2
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【说明】(1)使用公式1必须是X－型域，
公式2必须是
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
则有
(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域.
Y－型域.
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4. 【例题部分】
【例1】
【解Ⅰ】
看作X－型域
1
2
o
x
y
y=x
y=1
D
x
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【解Ⅱ】
看作Y－型域
1
2
o
x
y
x = y
x=2
D
y
1
2
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【例2】
【解】
D既是X—型域又是—Y型域
［法1］
－1
1
1
x
o
y=x
D
x
y
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［法2］
注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
－1
1
1
y
o
y=x
D
－1
x
y
注意两种积分次序的计算效果！
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【例3】
【解】
D既是X—型域
又是Y—型域
先求交点
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［法1］
［法2］
视为X—型域
计算较繁
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
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【小结】
以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积)
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5.【简单应用】
【例4】
求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.
【解】
设两个直圆柱方程为
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为
则所求体积为
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【例5】
【解】
据二重积分的性质4（几何意义）
交点
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6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题
【补例1】交换下列积分顺序
【解】 积分域由两部分组成:
视为Y–型区域 , 则
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【解】
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【补例3 】
【解】
当被积函数中有绝对值时，要考虑
积分域中不同范围脱去绝对值符号。
［分析］
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二、极坐标系下二重积分的计算
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从而得极坐标系下的面积元素为
又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，
故在极坐标下，二重积分化为
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则
二重积分极坐标表达式
【注意】极坐标系下的面积元素为
直角坐标系下的面积元素为
区别
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