高数部分知识点总结.docx

1高数部分
高数第一章《函数、极限、连续》
求极限题最常用的解题方向：； 则,对于0型和三型的题目直接用洛必达法则,对于0"、80、仔型
的题目则是先转化为0型或三型,再使用洛比达法则；
关于闭区间
存在一个
介值定理（结论部分为：存在一个 总使
上的连续函
&满足某
得f⑶=k）
数，常常是
个式子
零值定理（结论部分为：存在一个名使
只有连续性
得f⑸=0 )
已知
B
条件包括函
存在一个
费尔马定埋（结论部分为：f（xo）=。）
数在闭区间
名满足
洛尔定理（结论部分为：存在一个名使
上连续、在
f⑺㈤=0
得 U)= 0 )
开区间上可
导
C
条件包括函
存在一个
拉格朗日中值定理(结论部分为：存在
数在闭区间
£满足
一个8使得£«)=笔㈣)
上连续、在
f ㈤=k
利西中值定理(结论部分为：存在一个名
开区间上可
f;
-= "b)—f(a) 使得，g(b)-g(a) )
g⑸
导
另外还常利用构造辅助函数法，转化为
可用费尔马或洛尔定理的形式来证明
从上表中可以发现，有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄 弱，如表格中B、C的条件是一样的，同时A也只多了一条“可导性” 而已；所以在面对这一部分的题目时，如果把与证结论与可能用到的 几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到 入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日 中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上；如果能够做到 想到介值定理时就能同时想起结论“存在一个 名使得f (6=k”、看 到题目欲证结论中出现类似“存在一个8使得f (a=k”的形式时也 能立刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子f⑸=0;而见
f '
1( )f(b)-f(a)
到式子 丁 二 g(b)r(a)也如同见到拉格朗日中值定理一样， 那么在处 g()
理本部分的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。 所以说，“牢记定理的结论部分”对作证明题的好处在中值定理的证
明问题上体现的最为明显。
综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是 “尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重 视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智， 降低出错的可能”。希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明
白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中 用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性 质和定理自己感觉确实是弄懂了、 也差不多记住了，但是在做题时那 种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用；这也就 是自身感觉与实战要求之间的差别。
这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到 英语的掌握程度是不同的一样，对于考研数学大纲中“理解”和“掌 握”这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要
做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变 形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。 依我看，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解 决。
高数第六章《常微分方程》
本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方 程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表 格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现 的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法 线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶 部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。
对于本章的题目，第一步应该是辨明类型，实践证明这是必须放 在第一位的；分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。 这是因为其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只
讨论了有限的可解类型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知识 点紧密结合或是灵活转换。这样的知识点特点就决定了我们可以采取
相对机械的“辨明类型一一〉套用对应方法求解”的套路 ，而且各 种类型的求解方法正好也都是格式化的，便于以这样的方式使用。
先讨论一下一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的 通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。 各种类型都 有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不容易，但有规 律可循一一这些方法最后的目的都是统一的， 就是把以各种形式出现 的方程都化为f(x)dx=f(y)dy 这样的