内切球外接球问题.doc

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径。
处理球的“内切” “外接”问题
、球与棱柱的组合体问题:
1正方体的内切球:
设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半
a
⑴截面图为正方形EFGH的内切圆，: .
径。
处理球的“内切” “外接”问题
、球与棱柱的组合体问题:
1正方体的内切球:
设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半
a
⑴截面图为正方形EFGH的内切圆，得R i ；
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4作
截面图，圆0为正方形EFGH的外接圆，易得R
2a。
2
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5，以对角面AA,作截面
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广『•屮一-:
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\贮
光
A1
D1
J
图4
得,
为矩
AAQQ的外接圆，易得R A,0 a
2
、A、B、、
PB、
PC两两互相垂直，且
PA PB PC a,求这个球的表面积是
【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面
一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】
3. 已知底面边长为a正三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点在球0“上，又知球02与此正三棱柱
的5个面都相切，求球0i与球02的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心0“、02是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 AA1和它们的
球心作截面，设正三棱柱底面边长为
a，则
R2
讣，正三棱柱的高为h 2R2
3a，由
3
图6
Ci
Ei
八■ Ch
Rt ADiO 中，得
R12
3
——a
3
R22
J3
——a
3
5
—a
12
Ri
S1 ： S2
2 2
& : r2
5:1，
Vi：V2
:1
Di
6|
12a
棱锥的内切、外接球问题
?
分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、
线、面关系解之。
解:如图1所示，设点0是内切球的球心，正四面体棱长为a .由
图形的对称性知，，外接
A
o
D
A
c
E
图1
在 Rt BEO 中，BO2 BE2 EO2，即 R2
r2，得 R
3r
【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为
正四面体高的四等分点，即内切球的半径为-（h为正四面体的高），且外接球的半径竺
4 4
从而可以通过截面图中Rt OBE建立棱长与半径之间的关系。
5. 正三棱锥S ABC，底面边长为3,侧棱长为2,则其外接球和内切球的半径是