高中导数经典知识点及例题讲解.docx§ 变化率与导数
变化率问题
自学引导
通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率 .
课前热身
1. 函数 f ( x) 在区间 [ x1， x2] 上的
x
． －
)
． －
C 3
(
D
3
解析
y＝f ( －1＋ x) －f ( －1)
＝－(－
1＋
x
)
2＋
(
－ ＋
x
－
－
2)
1
)
(
＝－ (
x) 2＋3
x.
2＋3
y
－
x
x
x＋ 3
∴
x＝
x
＝－
答案
D
题型二
平均变化率的快慢比较
例 2
求正弦函数 y＝sin x 在 0 到
π
之间及
π
到
π
之间的平均变化率． 并比
6
3
2
较大小．
分析 用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
π
解 设 y＝ sin x 在 0 到 6 之间的变化率为 k1 ，则
π
sin 6
－ sin0
3
k1＝ π ＝ π.
－ 0
y＝sin
x 在
π
到
π
之间的平均变化率为 k2，
3
2
π
π
3
－
sin 2
－sin
3
1－ 2
3
3
则
k2 ＝
＝
＝
2
π
π
π
π
.
2
－
3
6
∵
k1－ k2 ＝ 3
－3
2－ 3
＝ 3
3－ 1
，
π
π
π
>0
k1>k2.
答：函数 y＝sin x 在 0 到
π
之间的平均变化率为
3
，在
π
到
π
之间的平均变
6
π
3
2
3
2－ 3
332－3
化率为
π
，且
π>
π
.
变式训练 2
试比较余弦函数
y＝ cosx 在 0 到
π
之间和
π
到
π
之间的平均变
3
3
2
化率的大小．
π
解
设函数 y＝ cosx 在 0 到
π
cos 3 － cos0
之间的平均变化率是
k1 ，则 k1＝
π
＝
3
3 － 0
3
－ 2π .
π
π
函数 y＝cosx 在 3 到 2 之间的平均变化
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