Chan 定位算法.pdf

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换为线性
方程组，然后采用 WLS 得到初始解，再利用第一次得到的估计坐标及附加变量等已知约束条件进行第二次 WLS
估计，从而得到改进的估计坐标。
问 题 建 模当有更多的 anchor 时，线性方程组便是超定的。由于测量噪声的存在 ，方程组 的解不可
能完全满足其中的所有方程，所以合适的解只能是匹配这些方程组的最佳解。令 ，在这里先不考虑
， ， 三者之间的关系，即假设三者线性无关。建立存在 TDOA 噪声的线性方程组，将式 转变成矩阵形式如
下：
在这里，考虑存在 TDOA 观测噪声时即（ ），误差向量为
关 于 最 小 二 乘 法
为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
估计方法有多种，其中使用最广泛的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。
线性回归模型为 ，模型的基本假设有：
假设1、解释变量 是确定性变量，不是随机变量；
假设2、随机误差项 具有零均值、同方差和不相关性：
假设3、随机误差项 与解释变量 之间不相关：
假设4、 服从零均值、同方差、零协方差的正态分布：
需要注意的是，如果假设 1、2 满足，则假设 3 也满足；如果假设 4 满足，则假设 2 也满足。估计参数时，必须检
验基本假定是否满足，并针对基本假定不满足的情况，采取相应的补救措施或者新的方法。不满足基本假设，高
斯-马尔科夫定理 2 失效。 高斯-马尔可夫定理表示为：当出现异方差，即 ，不满足上述定理时，OLS 估计量虽具有无偏性，但不具有有效性
3 。因此采用加权最小二乘法，对原 OLS 模型进行改进，使之成为一个新的不存在异方差的模型，再利用 OLS 解
决。
加 权 最 小 二 乘 法
我们需要先了解一下加权最小二乘法(WLS)。所谓最小二乘法，广泛用于数据拟合的求解方法，优化思路是使得估
计误差（residual, ）的平方和最小化。加权最小二乘法考虑到某些观测值具有更高的权重（如误差小），则问题
转化为 。其中 是权重。
最普通的最小二乘法的回归模型，满足上述的高斯-马尔可夫定理时，即可通过对 求导 4 ，得到其估计值：
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当残差项 的方差 不再是已知的，且不再是互不相关的，即 ， 。用 WLS 改进原模
型，使之不存在异方差即 ，因此有：
加权最小二乘法，就是对上述的 取一种特殊的矩阵：对角阵，而这个对角阵的对角元都是常数，也就是权重的倒
数，如下：
权重的选取原则是：对于较大的残差平方赋予较小的权重，反之赋予较大的权