凸集和凸函数和凸规划课件.ppt

关于凸集和凸函数和凸规划
现在学习的是第1页，共50页
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
仿射组合 (Affine Combination)
凸组合 (Convex Combinat的是第10页，共50页
定义 锥、凸锥
凸集-----凸锥 (Convex Cone)
现在学习的是第11页，共50页
凸函数
凸函数(Convex Function) ----
设
是非空凸集，
若对任意的
及任意的
都有：
则称函数
为
上的凸函数．
注：
将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义．
现在学习的是第19页，共50页
凸函数
严格凸函数
设
是非空凸集，
若对任意的
及任意的
都有：
则称函数
为
上的严格凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到严格凹函数的定义．
现在学习的是第20页，共50页
凸函数
对一元函数
在几何上
表示连接
的线段．
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点
的线段总是位于曲线弧的上方．
几何性质
表示在点
处的
函数值．
现在学习的是第21页，共50页
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
现在学习的是第22页，共50页
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
现在学习的是第23页，共50页
f(X)
X
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X1)
f(X2)
X1
X2
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
现在学习的是第24页，共50页
f(X)
X
f(X1)
f(X2)
X1
X2
任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αx1+(1-α)x2
f(αx1+(1-α)x2 )
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)

现在学习的是第25页，共50页
(a) 凸函数 (b)凹函数
该定义的一个应用——证明不等式
例：证明
Young不等式
推广：Hölder不等式
P41
证法：在Young不等式中令
现在学习的是第26页，共50页
例：
设
试证明
在
上是严格凸函数．
证明:
设
且
都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
现在学习的是第27页，共50页
例：
试证线性函数是
上的凸函数．
证明:
设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
凸函数
现在学习的是第28页，共50页
凸函数
定理1
设
是凸集
上的凸函数充要条件
性质
詹生(Jensen)不等式
不等式应用: 设
，证明:
P41
现在学习的是第29页，共50页
凸函数
定理2
性质
正线性组合
现在学习的是第30页，共50页
凸函数
定理3
设
是凸集
上的凸函数，
则对任意
，水平集
是凸集．
水平集(Level Set)
称为函数f在集合S上关于数 的水平集.
注：定理3 的逆命题不成立.
现在学习的是第31页，共50页
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
现在学习的是第32页，共50页
凸函数
现在学习的是第33页，共50页
定理1:
设
是定义在凸集
上，
令
则:
(1)
是定义在凸集
是凸集
上的凸函数的充要条件是对
任意的
一元函数
为
上的凸函数.
(2)
设
若
在
上为严格
凸函数，
则
在
上为严格凸函数．
凸函数
凸函数的判别定理
现在学习的是第34页，共50页
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之
间的部分是一段向下凸的弧．
凸函数
现在学习的是第35页，共50页
定理4
设在凸集
上
可微，
则：
在
上为凸函数的充要条件是对任意的
都有：
严格凸函数(充要条件)??
凸函数
凸函数的判别定理---一阶条件
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸 函数的依据.
现在学习的是第36页，共50页
凸函数
定理4-----几何解释
一个可微函数是