圆锥曲线知识结构.docx

圆锥曲线知识概要
【知识概要】
•、标准方程与几何性质
椭圆双曲线抛物线
l的距离
与两个定点F1,F2的距离(2c)之和等于常数(2a)的点的轨迹(2a》2c)。

与两个定点Fi,F2的距离(2c)椭圆；
e》1时，轨迹是双曲线，e=1时，轨迹是抛物线。（注:焦点要与对应准线配对使用）
•，是画图的依据和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础。在许多实际问题中正确使用这一定义可以使问题的解决更加灵活。另外当焦点位置不确定时，椭圆的标准方程可以统一设成
mx2+ny2=1（m》0,n》0,m#n），双曲线的标准方程可以统一设成mx2+ny2=1（mn<0）。
«，其
取值范围分别是0<e<1和e》，也是高考的热点
c和a的值去计算，而是根据题目
内容，在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出给出的椭圆与双曲线的几何特征，建立关于参数
c、a、b的方程或不等式求得离心率的值
或范围。
椭圆的离心率e与c、a、b的关系:
222
ca-b
222
双曲线的离心率e与c、a、b的关系：e2=—=a允=i+（b）2。
aaa
双曲线的特殊性质(1)等轴双曲线：双曲线x2—y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x,离
心率e=.2。
(2)共轴双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线2222
的共钥双曲线。r—=人与一—^^=—离互为共钥双曲线，它们具有共同的渐近线：
abab-0(3)渐近线是双曲线的特有标致，它反映了双曲线的变化范围和趋势。如果双曲线的渐22
近线为
,则它的双曲线方程可设为二_三=舄(舄=0)；要求双曲线="腴)的渐近线，只需令舄=。即可。
22
xy•
—H—r=1（a>ba。）上一点,
ab
Fi、
F2是其两个焦点，且
NF1PF2=e,
x2
则iFiPF2的面积S=b2tan—;若P是双曲线—-
2a
2y—=ib2
(a》。，ba。)上一点,
F1、F2是其
两个焦点，目/F1PF2=0，则^F1PF2
2b的面积S=一-。
XJtan—2
•=2px(PA。)的焦点的直线交抛物线于两点A(Xi，y〔)、B(x2，y?),则2有下列性质：ABn^+Xz+p,或aB=(。为直线AB的倾斜角)，y〔y2=_p2,xx2=土。
、相切、相离三种情况。
其判断方法都是利用代数方法，将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y得到—个关于X的一兀二次方程ax24bx4c=。。
(1)当a黄。时，若有A＞。，则l与C相交；若有，则l与C相切；若有A＜。，则l与C相离；
(2)当a=。时，即得到一个一次方程，若方程有解，贝Ul与C相交，此时只有一个公共点，若C为双曲线，贝U直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，直线l与抛物线的对称轴平行。所以当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线l的与双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。