1求数列通项公式的十种方法.doc

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求数列通项公式方法大全
一、累加法
适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以。
例2 已知数列满足，求数 .令,则
利用类型5的方法知 即 ②
再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出.
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例9. 在数列中，,求通项.（待定系数法）
解：原递推式可化为
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.
4．形如 (其中a,b,c是常数，且)
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例10 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得， 所以
由，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
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解：设
比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则，则是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
，若,且满足,求.
答案： .
四、迭代法 (其中p,r为常数)型
例12 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以
又，所以数列的通项公式为。
注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
例13.（2005江西卷）已知数列，
（1）证明 （2）求数列的通项公式an.
解：（1）略（2）所以
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又bn=－1，所以.
方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，：设c，则c,转化为上面类型（1）来解
五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0，
例14. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：，，设，则 是以2为公比的等比数列， ，，，∴
练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.
答案：
例15 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。
两边取常用对数得
设 （同类型四）
比较系数得，
由，得，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则
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，因此
则。
六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例16 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，
七、换元法 适用于含根式的递推关系
例17 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则 代入得
即
因为， 则，即，可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。
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例18 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得
由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，
由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
九、阶差法（逐项相减法）
1、递推公式中既有，又有
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分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
解：∵对任意有 ⑴
∴当n=1时，，解得或
当n≥2时， ⑵
⑴-⑵整理得： ∵各项均为正数，∴
当时，，此时成立
当时，，此时不成立，故舍去 所以
练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.
答案：
2、对无穷递推数列
例20 已知数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得 则 故
所以 ③
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由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为
十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。
分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。
类型一：形如
例21 已知数列中，，求数列的通项公式。
解：递推关系是对应得递归函数为，由得