排列组合问题求解方法与策略.docx

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1. 〈〈排列组合问题的求解方法与策略》.
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素ai,a2,•••...an其中限重复数为ni、m……且n=ni+n2+n平均分成k组，每组n个，共有(k)C2例17:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有玲=3(平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？
C8C20^10
C20/2!
注意:
：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有n-m
An_m
An5^1/A*，当nm+1>m,即ri^n*1时有意义.
3. nsm2隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例18：%为2我3为4=12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，,X2,X3,X4显然*枕化也=12,故(X1,X2,X3,X4)是方程的一组解•反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示).
X1
X2
X3
X4
注意：若为非负数解的X个数，即用a1,a2,...an中ai等于x甲，有x1*2+x3...俱=Ja1_1+a2_1+...an_1=A,进而转化为求a的正整数解的个数为cAqn.
定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有ArrAk1f.
例19：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？
4. 固定在某一位置上：Am=不在某一位置上：AmHm+或Am+A1Am'（一类是不取出特殊元素a,有Am，Aninn_1n_1m_1n_1n_£一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的）指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。先C后A策略，
rk_rkrk_r排列CrCnqAk；』•口CrCn_l.
从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列Cn^Ak；组合CnLiii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素山自灯c4^广岳△翟FfllMidhT/llC，厂k-^，厂k_S十日YS|兀系。兀CmA京峪,俳刊CrCn工Ak，组口CrCn_L.
5. 组合问题中分组问题和分配问题.
均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/A；（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak.
例20：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4,其分法种数为C10C；C4/A2=，各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为c1C1C2C2C2C2/A2A410=9=8=6=4=22八4非均匀编号分组:n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为AAmm例21:10人分成三组，各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动，其安排方法为：C12C3C5A3种.
① 若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4,参加不同的劳动，则安排方法有Ci：C；C4A3种均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为a/A；A*.
例22：10人分成三组，人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动，分法种数为C1：C；C4A3非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为A=勇1CM…cnx如七机-1）例23:10人分成三组，每组人数分别为2、3、5,其分法种数为01208^5=2520若从1。人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3,其分法种数为60勇07=12600.
分排问题“直排法”把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。
例24、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
6. 表格法有些较复杂的问题可以通过列图