高中概率与统计复习知识点与题型.docx

概 率 与 统 计 知 识
点 与 题 型
—
1、基本概念：
(1)必然事件：在条件 S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
(2)不可能事件：在条件 S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次
的概率是：p(e k) Ckpkqnk[其中 k 0,1, ,n,q 1 p]
H服从二项分布，记作 〜B(n-p),其中n,
于是得到随机变量 H的概率分布如下：我们称这样的随机变量 p 为参数，并记 C：pkqn k b(k；n p).
⑵二项分布的判断与应用 .
①二项分布，，且每次试验只有两种结
果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布^
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此
时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列^
.几何分布：“ k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k次试验时事件 A发生记为
Ak ,事 A不发生记为 Ak,P(Ak) q ,那么PG k) P(A1A； A?；A k).根据相互独立事件的概率乘法分式：
P(W k) P(A1 )P(A2) P(Ak 1 )P(A k) qk 1p (k 1,2,3,)于是得到随机变量H的概率分布列
1
2
3
…
k
…
P
q
qp
…
…
我们称Z服从几何分布，并记 g(k, p) qk1p,其中q 1 p, k 1,2,3
.⑴超几何分布：一批产品共有 N件，其中有 M(M< N)件次品，今抽取 n(1 nN)件，则其中的次品数E是
离散型随机变量，分布列为
n k N M).〔分子是从M件次品中取k件，从
k n k
P(H k)」一小(0 k M,0
CN
N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定
m<r时C： 0,则k的范围可以写为 k=0, 1,…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取 n件(1<n<a+b)，则次品数 E的
分布列为p(工k)
Ca b
k 0,1,
n..
⑶超几何分布与二项分布的关系
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数 E服从超几何分布,若放回式抽取，则
其中次品数的分布列可如下求得：把a b个产品编号，则抽取 n次共有(a b)n个可能结果，等可能：(刀k)
k k n k
含 cnakbnk 个结果，故 P* k) Cna bn Ck(—)k(1 /-)nk,k 0,1,2, ,n,即 〜B(n --).［我们先为 k (a b) a b a ba b
个次品选定位置，共 Ck种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法］可以证明：当产品
总数很大而抽取个数不多时，P(E k) P(Y］ k),因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似
看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
…
…
P
…
…
：一般地，若离散型随机变量H的概率分布为
则称EXipi X2P2 XnPn 为Z的数学期望或平均数、
型随机变量取值的平均水平
2.⑴随机变量a b的数学期望： E E(a b) aE b
①当a 0时，E(b) b ,即常数的数学期望就是这个常数本身
②当a 1时，E( b) E b,即随机变量 七与常数之和的期望等于七的期望与这个常数的和
③当b 0时，E(a ) aE ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积
⑵单点分布:
⑶两点分布:
⑷二项分布:
1 c其分布列为：P( 1) c.
q 1 p p ,其分布列为：(p + q = 1
k——n!——pk qn k np 其分布列为 k!(n k)!
B(n, p). (P为发生 的概率)
0
1
P
q
p
)
1
⑸几何分布：E — 其分布列为 〜q(k, p). (P为发生的概率)
p
、标准差的定义：当已知随机变量 H 的分布列为P(
Xk) pk(k 1,2,)时，则称
D (X1 E )2p1 (X2 E )2p2(Xn E )2pn D 0 ,故 D D .
为H的根方差或标准差
随机变量H的方差与标准差都反映了随机变量H取值的稳定与波动， 越小，稳定性越
高，波动越小