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极限计算方法总结02237极限计算方法总结
、极限定义、：(各种类型的极限的严格定义参见〈〈高等数学》函授教材，这里不一一叙述)
柔隅运用，而不需
a#0);
0^^ahqSi
说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以都可导，且g(x)的导数不为0；f(x)…lim存在(或是无分大)；g(x)
则极限lim里也一定存在，且等于lim也，即lim里=lim皿。
g(x)g'(x)g(x)g(x)
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限一“0..
是否为“-”型或“一”型；条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕0
后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x。是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limf(x)=f(xo)。

定理7(准则1)单调有界数列必有极限。
定理8(准则2)已知{xn},{yn},{Zn}为三个数列，且满足：
(I)y^x^Zn,(n=1,2,3，…)(2)limyn=a,limz^an)二n『二则极限limxn一定存在，且极限值也是a,即limxn=a。
nn二、求极限方法举例
，再利用极限运算法则求极限
例1lim、3x1-2(、.3x1)2一22
3x-3
x1x-1解：原式=limlimx，1(x-1)(\3xT2)x1(x-1)(、3xT2)4
注：本题也可以用洛比达法则。
例2limvn/n'2-、n-1)n_h：:
..n[(n2)-(n-1)]解：原式=lim一n，-1
分子分母同除以
limn
1+2十n
n
(-1)n3n例3啊：私『"
上下同除以解：原式=
lim-n
(一11r=1。(|)n13

(定理
6)求极限
12_x
例4limxexx>2解：因为xo=2是函数
1
f(x)=x2ex的一个连续点,
123
所以原式=2e2=
1-cosx例5lim2—x—03x2x2x2sin—2sin-
2..21
解：原式=lim产=lim=-xq3xx>ox」612V-)
2
注：本题也可以用洛比达法则。
2
例6日叫(1-3sinx)x1-6sinxit-r、I*/jfc■、-sinxx解：原式=lim(1-3sinx)
1-6sinx=l]m[(1—3sinx)^^]^^=e^
例7lim(土2)nn—■n12n1剑rn13解：原式=lim(1——)；e=im[()J]i=e'。
例8limxsin—X-,0x
解：原式=0(定理2的结果)。
利用等价无穷小代换(定理4)求极限xln(13x)
例9lim—x>0arctan(x)
解：•xt0寸，ln(1+3x)〜3x,arctan(x)〜x,原式=limx〕0
x3x仁=3。
xsinxe-e例10limJ0x-sinx
sinxx-sinxe(e