余弦定理的证明方法大全(共十法)(共5页).doc

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余弦定理的证明方法大全(共十法)
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余弦定理的证明方法大全(共十法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在中,已知,,,则有
,
,
.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在中,已知,,及角,求证:.
证法一:如图1,在中,由可得:
即,.
证法二:本方法要注意对进行讨论.
(1)当是直角时,由知结论成立.
(2)当是锐角时,如图2-1,过点作,交于点,则
在中,,.
从而,.
在中,由勾股定理可得:


即,.
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说明:图2-1中只对是锐角时符合,,图中的点就与点重合；若是钝角,图中的点就在的延长线上.
(3)当是钝角时,如图2-2,过点作,交延长线于点,则
在中,,.
从而,.
在中,由勾股定理可得:


即,.
综上(1),(2),(3)可知,均有成立.
证法三:过点作,交于点,则
在中,,.
在中,,.
由可得:
整理可得.
证法四:在中,由正弦定理可得.
从而有,………………………………………………………………①
. …………………………②
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将①带入②,整理可得.…………………………………………③
将①,③平方相加可得.
即,.
证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点,,,再由两点间距离公式可得.
即,.
证法六:在中,由正弦定理可得,,.
于是,
即,结论成立.
证法七:在中,由正弦定理可得,,.
于