利用函数的单调性证明不等式(共2页).doc

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利用函数的单调性证明不等式
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利用函数的单调性证明不等式
单调函数是一个重要的函数类, 函数的单调性应用广泛, 可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等, 并且可使许多问题的求解简单明快. 下面主要讨论单调性在不等式中的应用.
[8] 设函数的定义域为 区间 如果对于区间上任意两点及, 当时, 恒有, 则称函数在区间上是单调增加的; 如果对于区间上任意两点及， 当时, 恒有, 则称函数在区间上是单调减少的.
[8] 设函数在上连续, 在内可导. 如果在内, 那么函数在上单调增加; 如果在内, 那么函数在上单调减少.
利用函数的单调性解决不等式证明问题, 在高等数学中是经常使用的方法, 下面通过几个例子来说明.
[3] 当时, 证明:.
证明 构造函数, 则
因为时, , 即. 所以由定义知在内为严格单调减函数.
.
而, ,
故.
[2] 当 时, 证明: .
证明 构造函数, 则, 当时,
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. 所以定义知在内为严格单调减函数.
故时, 即
.
再构造函数, 则.
当时, 所以由有限增量公式知在时为严格单调减函数,
故当 时, . 即
.
综上所证, 当 时.