专题3.排列与组合.doc

排列与组合 1. 排列(1) 排列的定义:从 n个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从 n 个不同元素中任意取出 m 个元素的一个排列. (2) 排列数的定义:从n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有排列的个数叫作从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作 A mn. (3) 排列数公式: A mn=n(n- 1)( n- 2)…(n-m+ 1). (4)A nn=n·(n- 1)·(n- 2)·…·2·1=n! .A mn= n! ?n-m?! ,这里规定 0 != 1. 2. 组合(1) 组合的定义:从n个不同的元素中, 任取出 m(m≤n) 个元素为一组, 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. (2) 组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有组合的个数,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 C mn 表示. (3) 组合数的计算公式: C mn= A mnA mm= n! m!?n-m?! = n?n-1 ??n-2?…?n-m+1?m! ,由于 0!= 1 ,所以 C 0n=1. (4) 组合数的性质: ①C mn=C n -mn __;②C mn +1=C mn __+C m -1n __. 1. 判断下面结论是否正确( 请在括号中打“√”或“×”) (1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列. (×) (2) 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. (×) (3) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (√) (4)( n+ 1) !- n != n·n!.(√) (5)A mn=nA m -1n -1. (√) (6) kC kn=nC k -1n -1. (√) 2. 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友1 本,则不同的赠送方法共有() . 10种C. 18种D. 20种答案 B 解析方法一不同的赠送方法有 A 45A 22A 33= 10( 种). 方法二从2 本同样的画册, 3 本同样的集邮册中取出 4 本有两种取法:第一种:从 2 本画册中取出 1 本,将 3 本集邮册全部取出;第二种:将 2 本画册全部取出,从 3 本集邮册中取出 2 ,集邮册也是相同的,因此第一种取法中只需从 4 位朋友中选出 1 人赠送画册, 其余的赠送集邮册,有C 14= 4(种) 赠送方法; 第二种取法中只需从 4 位朋友中选取 2 人赠送画册, 其余的赠送集邮册,有C 24= 6(种) 赠送方法. 因此共有 4+6= 10( 种) 赠送方法. 3.( 2012 · 大纲全国) 将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有() A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种答案 A 解析先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有 A 33 种不同的排法. 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有 A 12 种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有 1 种排法. 因此共有 A 33·A 12·1= 12( 种) 不同的排列方法. 4. 用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四